Орчлон 2019, 4-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 120 мин
1. Зурагт үзүүлсэн дүрсийг 4 тэнцүү дүрсэд хуваа. Зөвхөн шугамын дагуу эсвэл нүдний диагоналын дагуу хувааж болно.
2. Цифрүүдийг нь эсрэг дарааллаар бичихэд өөрөө гардаг тоог палиндром тоо гэж нэрлэдэг. 2019-г хоёр оронтой, гурван оронтой, дөрвөн оронтой 3 ширхэг палиндром тооны нийлбэрт задалжээ. Дөрвөн оронтой палиндром тоо нь а) хамгийн багадаа, б) хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. $2019$-өөс хэтрэхгүй 4 оронтой палиндром тоонууд нь
$$1001,1111,\dots,1771,1881,1991,2002$$
юм.
Бодолт. $$2019=1001+919+99$$
тул бодлогын нөхцөлийг хангах хамгийн бага дөрвөн оронтой палиндром тоо $1001$.
$$2019-2002=17,\quad 2019-1991=28,\quad 2019-1881=138$$
тоонуудыг хоёр ба гурван оронтой палиндром тоонуудын нийлбэрт задлах боломжгүй ба
$$2019=1771+171+77$$
тул бодлогын нөхцөлийг хангах хамгийн их дөрвөн оронтой палиндром тоо нь $1771$.
3. Батад тус бүр 1 см, 2 см, 3 см, 4 см урттай хангалттай олон савх байжээ. Тэр савхнуудаа давхарлахгүй байрлуулж зурагт үзүүлсэн $4\,\text{см}\times 4\,\text{см}$ хэмжээтэй торыг хийхийг хүсэж байв (савхыг хугалж, нугалж болохгүй). Тэр хамгийн цөөндөө хэдэн ширхэн 1 см урттай савх ашиглах ёстой вэ?
4. Самбарт дөрвөн оронтой $A$ тооны цифрүүдийн байрыг солиход гарах бүх боломжит ялгаатай тоог бичсэн байв. Самбарт бичигдсэн аль нэг 2 тооны нийлбэр $A$ гарч болох уу?