Орчлон 2019, 11-р анги   

1. Самбарт 2 сондгой тоо бичигдсэн байв. Нэг удаагийн үйлдлээр самбарт бичигдсэн 2 тоог нэгэн зэрэг 1-ээр ихэсгэж болно, эсвэл аль нэг тоо нь бүтэн квадрат бол тэр тоог язгуураар нь сольж болно. Энэхүү үйлдлийг хэдэн удаа хийж самбарт бичигдсэн 2 тоог тэнцүүлж болохыг батал.

2. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AB$ талын үргэлжлэл дээр $B$ оройгоос цаана $P$ цэгийг $BP=CD$ байхаар, $AD$ талын үргэлжлэл дээр $D$ оройгоос цаана $Q$ цэгийг $DQ=BC$ байхаар тус тус сонгон авчээ. $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг $M$ бол $\angle BMD=90^\circ$ гэдгийг батал.

3. $a^5+b^6+c^7+d^8+e^9+f^{10}+g^{11}=N$ тэгшитгэл нь дор хаяж $2019$ ширхэг ялгаатай натурал шийдтэй байх $N$ тоо олдохыг батал.

4. Хүснэгтийн аль ч нүдний улаан ба хөх өнгийн хөрш нүдний тоо хоорондоо тэнцүү байхаар $2n\times 2n$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдийг улаан, хөх, ногоон 3 өнгөөр хэдэн ялгаатай аргаар будаж болох вэ?