Орчлон 2019, 7-р анги   

1. Том уутанд тооны харьцаа нь $15:19$ байхаар олон улаан, хөх өнгийн бөмбөг хийсэн байв. Уутнаас бүх улаан бөмбөгний $\dfrac37$-ыг, бүх хөх бөмбөгний $\dfrac25$-ийг авахад уутанд 1000-аас цөөн улаан, 1000-аас олон бөмбөг үлджээ. Уутанд анх хэдэн бөмбөг байсан бэ?

2. Квадратын үлдэх хэсэгт булан дүрсийг дахин байрлуулж болохгүй байхаар $6\times6$ хэмжээтэй квадрат дотор хамгийн цөөндөө хэдэн ширхэг 3 нүдтэй булан дүрс байрлуулж болох вэ? Хамгийн цөөн гэдгийг нотол. (Дүрсийг яаж ч эргүүлж болох бөгөөд зөвхөн шугамын дагуу байрлуулна.)

3. $10\times10$ хэмжээтэй квадратыг $100$ ширхэг $1\times 1$ хэмжээтэй жижиг квадратад хуваажээ. Аль ч жижиг квадратад яг 1 ширхэг улаан өнгийн тал байхаар жижиг квадратуудын зарим талыг улаан өнгөөр будав. Будагдсан талын тоо а) хамгийн цөөндөө, б) хамгийн олондоо хэд байж болох вэ?

4. $n$ нь 7-оос их натурал тоо. Хүснэгтийн аль ч баганад бичигдсэн хоёр тооны ялгавар 3 эсвэл 5 байхаар 2 мөр, $n$ баганатай хүснэгтийн нүднүүдэд $1,2,\ldots,2n$ тоонуудыг бичиж болохыг харуул.