Орчлон 2019, 9-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. $\angle A=15^\circ$, $\angle C=90^\circ$ өнцгүүдтэй $ABC$ гурвалжны $CD$ биссектриссийг татжээ. $AD-BD=2\cdot CD$ гэдгийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. $BD$ хэрчмийн уртаар бусад уртыг илэрхийл.
Бодолт. Шинэ үе сургуулийн Б. Мөнхтулга багшийн ирүүлсэн бодолт.
$BD=x$ гэвэл $BE=\dfrac{\sqrt3}{2}x$, $DE=\dfrac{x}{2}$ гэж гарна. $BE=CE=\dfrac{\sqrt3}{2}x$ байна. $CD=DM$ тул $DM=\dfrac{\sqrt3+1}{2}x$
$$CM=MF\cdot 2=DM\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 2=\dfrac{\sqrt3+1}{2}x\cdot\sqrt3=\dfrac{3+\sqrt3}{2}x$$
ба
$$AB=2CM=(3+\sqrt3)x\Rightarrow AD=AB-BD=(2+\sqrt3)x$$
болно. Эндээс
$$AD-BD=(1+\sqrt3)x=2DM=2CD$$
болж батлагдав.
2. Натурал $a_1,a_2,\ldots,a_{2018},a_{2019}$ тоонуудын хувьд
$$a_1!+a_2!+\cdots+a_{2018}!=a_{2019}!$$
байв. $a_{2019}$ нь хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?
3. $a < b < c < d$ байх $a$, $b$, $c$, $d$ тоонуудын хувьд
$$(a+b+c+d)^2>8(ac+bd)$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
4. $m$, $n$ нь $6$-д хуваагддаггүй натурал тоонууд бөгөөд $m\times n$ хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг $2\times 2$ ба $3\times 3$ хэмжээтэй квадратуудад хувааж болдог байжээ. Энэ тэгш өнцөгтийг зөвхөн $2\times 2$ хэмжээтэй квадратуудад эсвэл зөвхөн $3\times 3$
хэмжээтэй квадратуудад хувааж болохыг батал.