Орчлон 2019, 6-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. Багш самбарт хоёр тооны үржвэрийг олох даалгавар өгчээ. Харамсалтай нь, багш самбарт нэг тооны сүүлийн цифрийг бүдэг бичиж, сурагчид тэр цифрийг зөв уншиж чадахгүй байв. Бат тэр цифрийг 8 гэж хараад жинхэнэ хариунаас 1016-аар зөрүүтэй хариу гаргажээ. Харин Цэцэг тэр цифрийг 3 гэж уншаад жинхэнэ хариунаас 381-ээр зөрүүтэй хариу гаргажээ. Бүдэг бичигдсэн тэр цифрийг ол.
2. Уутанд байгаа нийт бөмбөгний $\dfrac23$-оос олон нь улаан өнгөтэй, $\dfrac15$-ээс олон нь хөх өнгөтэй, $\dfrac18$-ээс олон нь ногоон өнгөтэй. Энэ уутанд хамгийн цөөндөө хэдэн бөмбөг байсан бэ?
3. Самбарт дөрвөн оронтой $A$ тооны цифрүүдийн байрыг солиход гарах бүх боломжит ялгаатай тоог бичсэн байв. Самбарт бичигдсэн аль нэг 2 тооны нийлбэр $A$ гарч болох уу?
4. 6 хэрчим дээр 10 дугуйг байрлуулсан байв (зураг). Хэрчим бүр дээр байрласан 3 дугуйн голын дугуйд бичигдсэн тоо нь 2 захын дугуйд бичигдсэн 2 тооны дундажтай тэнцүү байхаар дугуйнуудад дэс дараалсан 10 ширхэг натурал тоог бичиж болох уу?
Заавар Бодолт
Заавар. Хамгийн их ба хамгийн бага тоонууд нь аль нэг хэрчмийн дундаж дээр байрлах боломжгүй.
Бодолт. Хамгийн бага нь $n$ бол хамгийн их нь $n+9$ байна. Эдгээр тоонууд нь аль нэг хэрчмийн дундаж дээр байрлах боломжгүй юм. Нөгөө талаас эдгээр тоонуудын нийлбэр $2n+9$ нь сондгой тоо тул дундаж нь бүхэл тоо байх боломжгүй тул бодлогын нөхцөл хангахаар дараалсан 10 тоо бичих боломжгүй юм.