Орчлон 2019, 2-р анги

Орчлон 2019, 2-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 90 мин

1. Бат, Цэцэг, Дорж гуравт анх нийт 100 ширхэг чихэр байжээ. Эхлээд Бат өөрийн чихрийн хагасыг Цэцэг, Дорж хоёрт тэнцүү хувааж өгөв. Дараа нь, Цэцэг өөрийн чихрийн хагасыг Бат, Дорж хоёрт тэнцүү хувааж өгөв. Тэгэхэд Цэцэг Доржтой ижил тооны чихэртэй, харин Бат Доржоос 4-өөр олон чихэртэй болсон байжээ. Анх хүүхэд тус бүрд хэдэн чихэр байсан бэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Хамгийн сүүлд Батаас 4 чихэр илүү авахад бүгд тэнцүү чихэртэй болно.

Бодолт. Цэцэг, Дорж хоёр хамгийн сүүлд $\dfrac{100-4}{3}=32$ чихэртэй, Бат үүнээс 4-өөр олон буюу $32+4=36$ чихэртэй болсон. Сүүлд Цэцэг өөрийн чихрийн хагасыг Бат, Дорж хоёрт өгсөн тул Цэцэг $2\cdot32=64$ чихэртэй, Бат $36-\dfrac{32}{2}=20$ чихэртэй, Дорж $32-\dfrac{32}{2}=16$ чихэртэй байжээ. Үүний өмнө Бат өөрийн чихрийн хагасыг Цэцэг, Дорж хоёрт өгсөн тул анх Бат $2\cdot 20=40$ чихэртэй, Цэцэг $64-\dfrac{20}{2}=54$, Дорж $16-\dfrac{20}{2}=6$ чихэртэй байжээ.

2. $\overline{AA}\times\overline{BCA}=\overline{2019A}$ үсэгт тааврыг бод.

Заавар Бодолт
Заавар. $\overline{2019A}$ тоо $\overline{AA}$-д хуваагдах тул $11$-д ч хуваагдана.

Бодолт. $\overline{2019A}$ тоо $11$-д хуваагдах тул $20190+A$ тоо 11-д хуваагдана. $20190=11\cdot 1835+5$ тул $5+A$ тоо мөн адил 11-д хуваагдах ёстой. Иймд зөвхөн $A=6$ байх л боломжтой. Үнэндээ $$20196:66=306$$ тул $A=6$, $B=3$, $C=0$ байна.

3. Зурагт үзүүлсэн дүрсийг 4 тэнцүү хэсэгт хуваа. Зөвхөн шугамын дагуу эсвэл нүдний диагоналийн дагуу хувааж болно.

Заавар Бодолт
Заавар. Дүрсийн талбай 12 тул хуваагдсан хэсэг тус бүр 3 талбайтай байна.

Бодолт.


4. Цифрүүдийг нь эсрэг дарааллаар бичихэд өөрөө гардаг тоог палиндром тоо гэж нэрлэдэг. 2019-г хоёр оронтой, гурван оронтой, дөрвөн оронтой 3 ширхэг палиндром тооны нийлбэрт задалжээ. Дөрвөн оронтой палиндром тоо нь а) хамгийн багадаа, б) хамгийн ихдээ хэд байж болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. $2019$-өөс хэтрэхгүй 4 оронтой палиндром тоонууд нь $$1001,1111,\dots,1771,1881,1991,2002$$ юм.

Бодолт. $$2019=1001+919+99$$ тул бодлогын нөхцөлийг хангах хамгийн бага дөрвөн оронтой палиндром тоо $1001$. $$2019-2002=17,\quad 2019-1991=28,\quad 2019-1881=138$$ тоонуудыг хоёр ба гурван оронтой палиндром тоонуудын нийлбэрт задлах боломжгүй ба $$2019=1771+171+77$$ тул бодлогын нөхцөлийг хангах хамгийн их дөрвөн оронтой палиндром тоо нь $1771$.