Орчлон 2019, 10-р анги   

1. $a_0=1$, $a_1=6$ бөгөөд $n\ge 1$ үед $a_{n+1}=20a_{n-1}+19a_n$ байх натурал тоон дараалал өгөгдөв. $a_n$ гишүүн нь бүтэн квадрат тоо байдаг $n>0$ дугаар олдох уу?

2. Ямар ч натурал $n$ тооны хувьд $|a-n^2|>2019$ байх тоог сайн тоо гэж нэрлэе. $a^3$ нь сайн тоо байдаг төгсгөлгүй олон натурал $a$ тоо олдохыг харуул.

3. $AB < AC$ талуудтай хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $BC$ тал дээр $D$ цэгийг $AD=AB$ байхаар сонгон авчээ. $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэг $H$ бөгөөд $DH$ шулуун $AB$ талыг $E$ цэгт огтолно. $ADE$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв нь $AC$ тал дээр оршихыг батал.

4. 2 тоглогч ээлжлэн $10\times 10$ хэмжээтэй хүснэгтийн аль нэг нүдийг будаж тоглоно (будсан нүдийг дахиж будахгүй). Хэрэв хүснэгтэд байгаа $3\times 3$ хэмжээтэй ямар ч квадратад ядаж нэг будагдсан нүд байвал тоглогчид цааш будахаа зогсоох ба хамгийн сүүлийн нүдийг будсан тэр тоглогч тоглоомонд хожино. Зөв тоглолтод аль тоглогч хожих вэ?