МУБИС-ийн декануудын нэрэмжит олимпиад 2019, 11-р анги   

1. $x\neq0;1$ байх бодит $x$ хувьд $f(x)+f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)-xf(2)=5$ нөхцөл биелдэг $f(x)$ функцийг ол.

2. $ABC$ гурвалжинд $AM$ медиан татав. $AB$, $AC$ талын дундаж цэгийг дайрсан, $AB$, $AC$-д перпендикуляр шулуунууд $AM$ медиантай огтлох цэгийг харгалзан $E$, $F$ гэж тэмдэглэв. $BE$, $CF$ шулууны огтлолцолын цэгийг $L$ гэж тэмдэглэв. $L$ цэгээс $AB$, $AC$ талд буулгасан перпендикулярын суурийг харгалзан $L_1$, $L_2$ гэж тэмдэглэв. $L_1L_2$ шулуун $AM$ медианд перпендикуляр болохыг батал.

3. Эерэг бүхэл тооны сүүлийн цифрийг арилгаж үүсэх тоон дээр арилгасан цифрийг 7-оор үржүүлэн нэмэх үйлдэл зөвшөөрөгдсөн байв (Жишээ нь энэ үйлдлийг 2018 тоон дээр хийвэл $201+56=257$ болох ба гарсан тоон дээр энэ үйлдлийг үргэлжлүүлэн хийх замаар 3 дахь үйлдлийн дараа $35$ гарна). Тэгвэл $25^{2019}$ тоон дээр энэ үйлдлийг $3000$ удаа хийхэд гарах тоог ол.

4. 19 хоттой улсын аль ч хоёр хот нь авто эсвэл төмөр замын аль нэгээр холбогдсон. Жуулчин нэг удаа аялахдаа гарсан хотоосоо гадна яг хоёр хотоор зочилж анхны хотдоо ирдэг. Жуулчид автомашинаар ч, галт тэргээр ч аялахыг хүсдэг ба аль ч хоёр нь авто замаар холбогдсон гурван хотыг эсвэл аль ч хоёр нь төмөр замаар холбогдсон гурван хотыг тохиромжгүй гурвал гэдэг. Тохиромжгүй гурвал хамгийн цөөндөө хэд байх вэ? Харгалзах байгуулалтыг ол.