МУБИС-ийн олимпиад 2019, 3-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 80 мин
1. Өгөгдсөн дүрсийг 3 хэсэгт хувааж, үүссэн хэсгүүдээр квадрат дүрс эвлүүлж зур.
2. 100-10000 тоонуудын дотор бичлэгтээ яг 3 ижил цифр агуулсан тоо хэд байх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. 3, 4, 5 оронтой бичлэгтээ яг 3 ижил цифр агуулсан тоонуудыг тус, тусд нь тоол.
Бодолт. 3 ижил цифр агуулсан 3 оронтой тоо $111,222,\ldots,999$ буюу 9 ширхэг байна.
4 оронтой 3 ижил цифрээр бичигдэх тоонууд нь $\overline{aaab}$, $\overline{aaba}$, $\overline{abaa}$, $\overline{baaa}$ хэлбэртэй байна. Эдгээрт тэг цифрийг оруулбал $4\cdot2\cdot C_{10}^2=360$ ширхэг тоо байх ба үүнээс 0 цифрээр эхэлсэн $4\cdot 9=36$ тоог хасвал $360-36=324$ ширхэг тоо байна.
5 оронтой нэг тоо байгаа боловч 4 тэгтэй тул бодлогын нөхцөлийг хангахгүй.
Иймд нийт $9+324=333$ ширхэг 3 ижил цифртэй тоо байна.
4 оронтой 3 ижил цифрээр бичигдэх тоонууд нь $\overline{aaab}$, $\overline{aaba}$, $\overline{abaa}$, $\overline{baaa}$ хэлбэртэй байна. Эдгээрт тэг цифрийг оруулбал $4\cdot2\cdot C_{10}^2=360$ ширхэг тоо байх ба үүнээс 0 цифрээр эхэлсэн $4\cdot 9=36$ тоог хасвал $360-36=324$ ширхэг тоо байна.
5 оронтой нэг тоо байгаа боловч 4 тэгтэй тул бодлогын нөхцөлийг хангахгүй.
Иймд нийт $9+324=333$ ширхэг 3 ижил цифртэй тоо байна.
3. Дээрх гурвалжны периметр нь доор залган зурагдсан 6 нэгж талтай квадратын периметртэй тэнцүү бол уг таван өнцөгтөөр үүсэн сэнсний периметрийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. Квадратын гурван талын уртын нийлбэр гурвалжны 2 хажуу талын уртуудын нийлбэртэй тэнцүү. Иймд гурвалжны хоёр хажуу талын уртуудын нийлбэр буюу квадраттай нийлээгүй хэсгийн урт нь 18 нэгж байна.
Бодолт. Сэнсний 4 гурвалжин дүрсийн гадаад хилийн урт нь нийтдээ $4\times 18=72$ нэгж, квадратуудын гадаад хил нь $4\times 6=24$ нэгж тул дүрсийн периметр нь $72+24=96$ нэгж юм.
Заавар Бодолт
Заавар. Бодлогын нөхцөл ёсоор
дүрсүүд ижил периметртэй.
Бодолт. 
дүрсийн периметр $16\cdot 6=96$ тул сэнсний периметр мөн адил $96$ байна.
4. Хүү хоёр шооны бүх талсууд дээр цифр бичив. Тэр хоёр шоогоо зэрэгцүүлэн тавьж сарын өдрүүдийг үүсгэж тоглов. Хүү аль ч сарын бүх өдрүүдийг үүсгэж чадах уу? Сарын өдрүүдийг $01$, $02$, $03,\ldots,29,30,31$ гэж тооцно.
Заавар Бодолт
Заавар. 11 ба 22-ны өдрүүдийг үүсгэхийн тулд шоо тус бүр дээр 1 ба 2-ийн цифрүүд бичигдсэн байна.
Бодолт. 11 ба 22-ны өдрүүдийг үүсгэхийн тулд шоо тус бүр дээр 1 ба 2-ийн цифрүүд бичигдсэн байна. Хэрвээ 0 цифр нэг удаа бичигдсэн бол 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09 өдрүүдийг бичихийн тулд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрүүд нөгөө шоон дээр бичигдсэн байх ёстой болж зөрчил үүснэ. Иймд 0 цифр дор хаяж 2 удаа бичигдэнэ.
6 цифр бичсэн шоог эргүүлээд 9 цифр болгох боломжтой тул 6 ба 9-ийн аль нэгийг нь бичихэд хангалттай. Эхний шоон дээр 0, 1, 2, 3, 4, 5 тоонуудыг, хоёр дахь шоон дээр 0, 1, 2, 6, 7, 8 тоонуудыг бичнэ. Ингэхэд бүх өдрийг гаргаж болохыг шалгаж үзээрэй.
6 цифр бичсэн шоог эргүүлээд 9 цифр болгох боломжтой тул 6 ба 9-ийн аль нэгийг нь бичихэд хангалттай. Эхний шоон дээр 0, 1, 2, 3, 4, 5 тоонуудыг, хоёр дахь шоон дээр 0, 1, 2, 6, 7, 8 тоонуудыг бичнэ. Ингэхэд бүх өдрийг гаргаж болохыг шалгаж үзээрэй.