Эхлэл 2018-2019   

1. Бат хавтгайн $(a,b)$ цэгээс нэг удаад $(a−b,a+b)$ цэг рүү эсвэл $(2a−b,a+2b)$ цэг рүү очиж чаддаг. Тэгвэл уг үйлдлүүдийг ээлжлэн хийсээр $(1, 0)$ цэгээс $(28,−96)$ цэгт хэдэн янзаар очиж чадах вэ?

2. Тойрогт багтсан $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AB$ тал дээр дурын $P$ цэг авав. $DP$ хэрчим $AC$ диагоналтай $Q$ цэгт огтлолцоно. $P$ цэгийг дайрсан $CD$ талтай параллел шулуун $BC$ шулуунтай $K$ цэгт, $Q$ цэгийг дайрсан $BD$ диагоналтай параллел шулуун $BC$ шулуунтай $L$ цэгт огтлолцох бол $KBP$, $LCQ$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд шүргэлцэнэ гэж батал.

3. Паскалын гурвалжны $n$-р мөрөнд байрлах 3-т хуваахад 1 үлдэгдэл өгөх тоонуудын тоог $A_n$, 2 үлдэгдэл өгөх тоонуудыг тоог $B_n$ гэе. Дурын $n$ натурал тооны хувьд $A_n − B_n$ нь 2-ийн зэрэгт байна гэж батал.

4. $k$ натурал тоо ѳгѳв. Төгсгөлгүй хэмжээстэй хүснэгтэнд $N$ ширхэг нүдийг тэмдэглэжээ. $A$ нүдийг агуулах мөр, баганад байрлах нүднүүдийг $A$ нүдний загалмай гэе. Хэрэв $A$ нүд тэмдэглэгдээгүй бөгөөд түүний загалмай дотор дор хаяж $k$ ширхэг нүд тэмдэглэгдсэн бол $A$ нүдийг тэмдэглэж чаддаг. Энэ үйлдлийг давтсаар төгсгөлгүй хүснэгтийн бүх нүдийг тэмдэглэж болдог байх $N$-ийн хамгийн бага утгыг ол.