Эхлэл 2018-2019   

1. Хэрэв $a$, $b$, $c$, $d$ бодит тоонуудын хувьд $a^2 +b^2 +c^2 +d^2 = 4$ бол $(2+ a)(2+b) \ge cd$ болохыг батал.

2. $AB < AC$ байх хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжныг багтаасан $\omega$ тойргийн төвийг $O$, $BC$ талын дундаж цэгийг $M$ гэе. $AM$ шулуун $\omega$ тойрогтой $D$ цэгт огтлолцоно. $D$ цэгээс $AB$, $AC$ шулуунууд руу буулгасан перпендикулярын сууриуд харгалзан $E$, $F$ байг. Хэрэв $EF$ хэрчмийн дундаж цэг $G$ бол $AO\parallel GD$ гэж батал.

3. Тойрог дээр $n$ зоос тоо эсвэл сүлдээрээ байрлажээ. Нэг удаад хөрш хоёр ижил төрлийн (сүлд эсвэл тоогоор) зоосыг нэгэн зэрэг эргүүлж болно. Тэгвэл энэ үйлдлийг хэдэн ч удаа хийсэн бие биендээ шилждэггүй байрлалын тоог ол.

4. $p > 3$ анхны тоо. $\{1, 2, 3,\ldots,p\}$ олонлогийн $a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_{p−1}a_p + a_p a_1$ тоо $p$-д хуваагддаг байх $(a_1,a_2,\ldots,a_p)$ сэлгэмлийн тоог $K$ гэвэл $K + p$ тоо $p^2$-д хуваагдахыг батал.