Эхлэл 2018-2019   

1. Хэрэв $p>3$ байх анхны тоо бол ямар нэгэн натурал $n$ тооны хувьд $p^n$ тоог хоёр натурал тооны кубуудын нийлбэрт тавьж болох уу?

2. Эерэг бодит $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд $$\dfrac{a}{a\sqrt2+\sqrt{(a+b)^2+(a+c)^2}}+\dfrac{b}{b\sqrt2+\sqrt{(b+c)^2+(b+a)^2}}+\dfrac{c}{c\sqrt2+\sqrt{(c+a)^2+(c+b)^2}}\le\dfrac{\sqrt2}{2}$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

3. Тойрог дээр байрлах $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{2018}$ дугаартай хайрцагнуудад нэг нэг жимс хийв. Аль ч зэргэлдээ орших 2 хайрцагт өөр төрлийн жимс байхаар 16 төрлийн жимсийг хэчнээн янзаар хайрцагнуудад хийж болох вэ?

4. $AB=AC$ байх адил хажуут $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог болон $AB$, $AC$ талуудыг харгалзан $P$, $Q$ цэгт шүргэх тойрог байгуулав. $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг нь $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв болохыг батал.