Эхлэл, 9-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. $A$ нь $a^2+2b^2$ хэлбэрт бичигддэг бүх эерэг бүхэл тоонуудын олонлог ($a$, $b$ нь бүхэл тоонууд
ба $b\neq0$). Хэрэв $p$ анхны тооны хувьд $p^2\in A$ бол $p\in A$ болохыг харуул.
Заавар Бодолт
Заавар. $(a,b)=1$ бол $(a-b,a+b)=1\lor 2$ байдаг.
Бодолт. $p=2$ үед $p^2=0^2+2\cdot 1^2$ байна. $p$ сондгой анхны тоо бол $a$ сондгой тоо ба $(a,p)=p$ бол $p\mid a$ ба $p\mid b$ болох тул $a^2+2b^2>p^2$ болж зөрчил үүснэ. Иймд $(a,p)=1$ ба $(p-a,p+a)=2$ байна.
$$p^2=a^2+2b^2\Rightarrow (p-a)(p+a)=2b^2$$
тул $2\mid b$ буюу $b=2c$ болно. Эндээс $\left(\dfrac{p-a}{2};\dfrac{p+a}{2}\right)=1$ тул
$$\dfrac{p-a}{2}\cdot\dfrac{p+a}{2}=2c^2=2c_1^2c_2^2$$
ба
$$\left\{\begin{array}{c}
\dfrac{p-a}{2}=c_1^2\\
\dfrac{p+a}{2}=2c_2^2
\end{array}\right.
\lor
\left\{\begin{array}{c}
\dfrac{p-a}{2}=2c_1^2\\
\dfrac{p+a}{2}=c_2^2
\end{array}\right.$$
байна. Эндээс тэгшитгэлүүдийг нэмэхэд
$$p=c_1^2+2c_2^2\lor p=c_2^2+2c_1^2$$
болно. $p$ анхны тоо тул $c_1\neq0$, $c_2\neq0$ байх нь илэрхий.
2. Хэрэв $a$, $b$, $c$ нь гурвалжны талууд бол
$$\dfrac{(b+c-a)^2}{a(a+b-c)}+\dfrac{(c+a-b)^2}{b(b+c-a)}+\dfrac{(a+b-c)^2}{c(c+a-b)}\ge ab+bc+ca$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг харуул.
3. Өгөгдсөн $AB=AC$ байх $ABC$ адил хажуут гурвалжны $AB$, $AC$ талуудын харгалзан дундаж $M$, $N$ цэгүүдийг холбосон дундаж шугам дээрх дурын $D$ цэгийн хувьд $BD$ шулуун гурвалжны $AC$ талыг $E$ цэгт, $CD$ шулуун $AB$ талыг $F$ цэгт огтолдог бол $\dfrac{1}{CE}+\dfrac{1}{BF}$ нийлбэр тогтмол гэж батал.
4. $9\times 9$ хүснэгтийн нүднүүдэд бүх боломжит $3\times3$ квадратыг авахад квадратууд доторх тоонуудын нийлбэр нь бүгд ижил байхаар $1$-ээс $81$ хүртэлх тоонуудаар дүүргэж болох уу?