Заавар. Төгсгөлийн цифрээс нь эхэлж боломжуудыг шавх. $$ab\equiv ac\pmod{am}\Leftrightarrow b\equiv c\pmod{m}$$ болохыг ашиглаарай.

Бодолт. Сүүлийн цифр нь $2$ эсвэл $8$ байх нь илэрхий.

$(10x+2)^2$ тоо $44$-өөр төгсдөг бол $$(10x+2)^2\equiv 40x+4\equiv44\pmod{100}\Leftrightarrow 2x\equiv 2\pmod{5}$$ буюу $x\equiv1\pmod{5}$ байна. Иймд $12$, $62$-аар төгссөн тоонуудын квадрат $44$-өөр төгсөнө.

$(10x+8)^2$ тоо $44$-өөр төгсдөг бол $$(10x+8)^2\equiv 160x+64\equiv44\pmod{100}\Leftrightarrow 160x\equiv 80\pmod{100}$$ буюу $8x\equiv4\pmod{5}\Leftrightarrow x\equiv 2\cdot (8x)\equiv 2\cdot 4\equiv 3\pmod{5}$ байна. Иймд $38$, $88$-аар төгссөн тоонуудын квадрат $44$-өөр төгсөнө.

Иймд зөвхөн $12$, $38$, $62$, $88$ буюу $100$-д хуваахад $\pm12$, $\pm38$ үлдэгдэл өгөх тоонуудын квадрат л гурван $4$-өөр төгсөх боломжтой.

$$(100y\pm12)^2=10000y^2\pm2400y+144$$ тооны 100-тын орон сондгой тоо байх ёстой тул $12$, $88$-аар төгссөн тоонуудын сүүлийн зуутын орон 4 байх боломжгүй.

Хэрэв $38$-аар төгссөн бол $$(100y+38)^2=10000y^2+7600y+1444\equiv444\pmod{1000}\Leftrightarrow 7600y\equiv 0\pmod{1000}$$ тул $38y\equiv0\pmod{5}\Leftrightarrow y\equiv\pmod{5}$ байна. Иймд $\ldots038$, $\ldots538$ хэлбэрийн тоонууд $444$-ээр төгсөнө.

Хэрэв $62$-оор төгссөн бол $$(100y+62)^2=10000y^2+12400y+3844\equiv444\pmod{1000}\Leftrightarrow 12400y\equiv 600\pmod{1000}$$ тул $2y\equiv 3\pmod{5}\Leftrightarrow y\equiv 4\pmod{5}$ байна. Эндээс $\ldots462$, $\ldots962$ хэлбэрийн тоонууд мөн $444$-өөр төгсөнө.

Заавар. $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$ тоонууд анхны тоонууд тул $c < a+b$, $b < a+c$, $a < b+c$ байна.

Бодолт. Тэгш хэмтэй тул $a+b=800$ гэе. Тэгвэл $a$, $b$, $c$ нь анхны тоонууд тул эдгээрийн нийлбэр буюу $a+b+c$ хамгийн их нь байна. $c < a+b$ тул $$a+b+c<2(a+b)=1600$$ байна. Түүнчлэн $a+b+c$ анхны тоо тул $a+b+c\le 1597$ байна. Хэрвээ үлдэх тоонууд нь анхын тоонууд бөгөөд хамгийн бага нь $3$ бол $d=1597-3=1594$ хамгийн их утга байна. $a=13$, $b=787$, $c=797$ нь анхны тоонууд бөгөөд $a+b-c=3$, $a+c-b=23$, $b+c-a=1571$ нь мөн анхны тоонууд ба $a+b+c=1597$ тул дээрх нөхцөлийг хангана.

Заавар. Периметр нь 12 үед талбай нь 12-аас эрс бага байхыг батал.

Бодолт. $h_c < a$, $h_c < b$ тул $h_c<\dfrac{a+b}{2}$ байна. Нөгөө талаас $$S=\dfrac{ch_2}{2}<\dfrac{c}{2}\cdot\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{c\cdot (12-c)}{4}$$ байна. $c=6-\varepsilon$ гэвэл $12-c=6+\varepsilon$ ба $$S=\dfrac{(6-\varepsilon)(6+\varepsilon)}{4}=9-\dfrac{\varepsilon^2}{4}<9<12$$ тул 12 периметртэй, 12 талбайтай гурвалжин оршин байхгүй.