Энхболд XV, 4-р анги

бодолттой   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 120 мин


1. Аав нь 90 м талтай квадрат хэлбэрийн газраас 3 хүүдээ тасалж өгчээ. Гурван хүүд ногдсон газрын периметрүүдийг зурагт үзүүлэв. Үлдсэн талбайн хэмжээг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. Дээд хоёр тэгш өнцөгтийн өндрийг $h$ гэвэл периметрүүдийн нийлбэр нь $2(90+h)+2h=216+188=404$ байна.

Бодолт. Дээд тэгш өнцөгтүүдийн өндөр нь $2(90+h)+2h=404\Rightarrow h=\dfrac{404-180}{4}=56$ байна. Иймд доод тэгш өнцөгтүүдийн өндөр нь $90-56=34$ болно. $196$ м периметртэй тэгш өнцөгтийн өндөр нь $34$ тул урт нь $$\dfrac{196}{2}-34=98-34=64$$ болно. Олох тэгш өнцөгтийн талууд нь $34$ ба $90-64=26$ тул талбай нь $34\times 26$ болно.


2. Квадрат хүснэгтийн зарим нүдийг будаад, $4\times 4$ хэмжээтэй квадрат бүрийн доторх будагдсан нүдний тоог тоолжээ. Эдгээр тоонууд бүгд ялгаатай байсан бол хүснэгт хамгийн олондоо хэдэн нүдтэй вэ? Олсон тоогоо хамгийн их гэдгийг харуулаад жишээ гарга.

Заавар Бодолт
Заавар. Будагдсан нүдний тоо нь хамгийн олондоо 17 ялгаатай тоо гарах боломжтой.

Бодолт. $n\times n$ тэгш квадратад нийт $(n-3)\times(n-3)$ ширхэг $4\times 4$ квадрат багтана. $(n-3)^3\le 17$ тул $n\le 7$ байна.

$7\times 7$ тэгш өнцөгтийн бүх $4\times 4$ тэгш өнцөгт дахь будагдсан нүдний тоо нь ялгаатай байх жишээ нь



3. Тэгш, сондгой цифрүүд сөөлжлөн байрладаг тоог гоё тоо гэж нэрлэе. Жишээлбэл 1232, 2183 тоонууд гоё, харин 1063 гоё тоо биш. Тэгвэл $a+a$ нь бас гоё тоо байдаг дөрвөн оронтой гоё тоо $a$ хэд байх вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Гоё тоонууд нь $\text{СТСТ}$, $\text{ТСТС}$ хэлбэртэй ба гоё тоог өөр дээр нь нэмэхэд дахиад гоё тоо гардаг бол сүүлийн цифр нь тэгш буюу $\text{СТСТ}$ хэлбэртэй байна.

Бодолт. Хэрвээ $\text{СТСТ}+\text{СТСТ}=\text{СТСТ}$ бол нэг баганад харгалзах тэгш цифрүүдийн нийлбэр нь $10$-аас багагүй, сондгой цифрүүдийн нийлбэр 10-аас бага байна. Иймд тэгш цифрүүд нь $6$ ба $8$, сондгой цифрүүд нь $1$ ба $3$ буюу тус бүр 2 янзаар сонгож болно. Ийм хэлбэрийн $2^4=16$ ширхэг тоо бий.

Хэрвээ $\text{ТСТC}+\text{ТСТC}=\text{СТСТ}$ бол нэг баганад харгалзах сондгой цифрүүдийн нийлбэр нь $10$-аас багагүй, тэгш цифрүүдийн нийлбэр 10-аас бага байна. Ийм тэгш цифрүүд нь $0$, $2$, $4$, сондгой цифрүүд нь $5$, $7$, $9$ байна. Иймд ийм төрлийн тоо $2\cdot 3^3=54$ ширхэг байна.

Иймд нийт $16+54=70$ ширхэг гоё тоог өөр дээр нь нэмэхэд гоё тоо гарна.


4. Эльфүүд болон хоббитууд нийлээд 32 хүн тойрон суужээ. Эльфүүд ямагт үнэн хэлдэг боловч андуурсан тохиолдолд худал хэлдэг. Хоббитууд ямагт худал хэлдэг. Бүх хүн "Би эльф, хоббит хоёрын дунд сууж байна" гэж хэлжээ. Тэднээс яг хоёр эльф андуурсан бол хэдэн эльф, хэдэн хоббит байсан бэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Хэрвээ 2 эльф зэрэгцэж суусан бол бүх хүн эльф болно. Иймд эльф бүрийн хажуу талд 2 хоббит сууна.

Бодолт. Хоббитыг Х, эльфийг Э үсгээр тэмдэглэе. Эльфүүд нь ХЕХ хэлбэртэй суух ба хоёр хажуугийн хоббит нь хоёулаа андуураагүй бол XXEXX гэж суусан байх ёстой. Энэ тохиолдол голын ХЕХ хэсгийг арилгахад үлдэх хүмүүсийн хувьд бодлогын нөхцөл хадгалагдаж үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл үлдэх хоббит ба эльфүүд нь бүгд "Би эльф, хоббит хоёрын дунд сууж байна" гэж хэлэхэд эльфүүд болон андуурсан 2 хоббит худал, андуураагүй хоббитууд нь үнэн хэлсэн хэвээр үлдэнэ.

Энэ алхамыг давтахад боломжгүй болоход үлдсэн эльф бүрийн хажууд андуурсан хоббит суусан байна. Андуурсан хоббитыг жижиг х үсгээр тэмдэглэе. 2 ширхэг андуурсан хоббит байгаа тул үлдсэн эльфийн тоо 4-өөс хэтрэхгүй. Хэрвээ 4 эльф үлдсэн гэвэл XExEХХExEX (эхний ба сүүлийн хоббит зэрэгцэж сууж байгаа гэж үзнэ) гэсэн нийт 10 хоббит ба эльф үлдэх ёстой. Энэ тохиолдолд нийт 22 хоббит ба эльф хассагдсан байх ёстой. Гэтэл хасагдсан хоббит ба эльфүүдийн тоо 3-д хуваагдах ёстой тул энэ нь боломжгүй юм.

Хэрвээ 3 эльф үлдсэн гэвэл XExExEX гэсэн нийт 7 хоббит ба эльф үлдэх ёстой. Мөн л хасагдсан хоббит ба эльфийн тоо 3-д хуваагдахгүй тул энэ тохиолдол нь боломжгүй болно.

Хэрвээ 2 эльф үлдсэн гэвэл зөвхөн xЕxЕ болох ба өмнөхийн адил боломжгүй юм. Түүнчлэн 1 эльф үлдсэн байх боломжгүй. Учир нь энэ тохиолдолд эльфийн хажуут сууж байгаа андуурсан хоббитийн хоёр талд эльф ба хоббит суусан болоход хүрнэ.

Иймд зөвхөн 2 андуурсан хоббит л үлдэх боломжтой боллоо. Энэ тохиолдолд 20 хоббит, 10 эльф хасагдсан байх тул 22 хоббит, 10 эльф байжээ.