Энхболд XV, 12-р анги

бодолтгүй   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 240 мин


1. $p>5$ байх анхны $p$ тоо өгөгджээ. Өгсөн тойргийг $p-1$ ширхэг тэнцүү нумд хуваах цэгүүд дээр $1,2,\ldots, p-1$ тоонуудыг дараах нөхцөл биелж байхаар бичиж болох уу? (Нэг тоог нэг л цэг дээр бичнэ.)

Тойргийн ямар ч дэс дараалсан 3 цэг дээр бичигдсэн тоонууд нь $a$, $b$, $c$ бөгөөд энэ 3 цэгтэй диаметрээр эсрэг 3 цэг дээр бичигдсэн тоонууд нь $a'$, $b'$, $c'$ бол $a'b'c'-abc$ ялгавар $p$-д хуваагдана.


2. $\omega$ тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжин дотор $P$ цэгийг сонгон авчээ. $AP$ шулуун $\omega$ тойргийг дахин $X$ цэгт, $BP$ шулуун $\omega$ тойргийг дахин $Y$ цэгт огтлох бөгөөд $AY$, $CX$ шулуунууд $Z$ цэгт огтлолцоно. $PZ$ шулуун $BCP$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $P$ цэгээс ялгаатай $Q$ цэгт огтолдог бол $APQ$ гурвалжныг багтаасан тойрог нь $\omega$ тойргийг шүргэхийг батал.


3. $a_n=3^n+n^3-3n^2+3n+2$ гэсэн дараалал өгөгджээ. $k$ нь өгсөн натурал тоо бол $a_n$ гишүүн нь $19^k$-д хуваагддаг байх $n$ дугаар олдохыг харуул.


4. $n\ge2$ үед $n\times n$ хүснэгтийн $i$-р мөр, $j$-р баганын огтлолцлын нүдэнд эерэг $a_{ij}$ тоо бичсэн бөгөөд $1\le i\le j\le n$ байх ямар ч $i$, $j$ тоонуудын хувьд $a_{ij}\cdot a_{ji}=1$ байв. Хүснэгтийн $i$-р мөрөнд бичигдсэн бүх тоонуудын нийлбэр $S_i$ бол $$\dfrac{1}{S_1}+\dfrac{1}{S_2}+\cdots+\dfrac{1}{S_n}\le 1$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.