Заавар. $\overline{AB}\times(\overline{AB}+1)=101\times\overline{DE}+1$ байна. Дараалсан 2 тооны үржвэр зөвхөн $0$, $2$, $6$ цифрүүдээр төгсдөг ба $E<9$ юм. Иймд $E=1$ эсвэл $E=5$ байна. $D$ цифрийн боломжит 9 утгад гарах 18 ширхэг тооноос дараалсан хоёр тооны үржвэр болохыг нь ол.

Бодолт. $D=6$, $E=1$ үед $78\cdot 79=6162$ байна.

Заавар. Хар цэгүүдийн хоорондох улаан цэгийн тоо 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөхийг харуул.

Бодолт. Анх аль ч хоёр хар цэгийн хооронд 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөх ширхэг улаан цэг байсан. Хэрвээ аль нэг хоёр хар цэгийн хоорондох 3 улаан цэгийг арилгавал энэ чанар мэдээж хадгалагдана. Хэрвээ аль нэг хар цэгийг арилгасан гэвэл сонгосон улаан цэгтэй хэсгийн улаан цэгийн тоо 3-д хуваагдах болох ба арилгасан хар цэгийн нөгөө талд байгаа хэсэг нь 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөх тооны улаантай байх тул нийлбэр нь 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгнө.

Мэдээж нэг ч хар цэг үлдээхгүйгээр үйлдэл хийж болох нь ойлгомжтой. 1 хар цэг ба 2 хар цэг үлдээгээд үйлдэл хийх ч төвөгтэй биш.

З ба түүнээс дээш хар цэг байх боломжгүй. Учир нь энэ тохиолдолд хар цэгүүдийн хооронд дор хаяж 2 цэг байх шаардлагатай бөгөөд нийт цэгийн тоо дор хаяж 9 байхад хүрч зөрчил үүснэ.

Заавар. $N(n,s)$-ээр $4$ өнгийн $1,2,4,\ldots,2^n$ тоонуудыг тус бүр нэгээс олонгүй удаад ашиглан нийлбэр нь $s$ тоог гарч байхаар нийлбэр зохиох боломжийн тоог тэмдэглэе. Нэмэгдэхүүний байрыг солиход ялгаатай боломж үүсэхгүй гэж үзвэл $$N(n,s)=N(n-1,s)+C_4^1\cdot N(n-1,s-2^n)+C_4^2\cdot N(n-1,s-2\cdot 2^n)+C_4^3\cdot N(n-1,s-3\cdot 2^n)+C_4^4\cdot N(n-1,s-4\cdot 2^n)$$ байна.

Бодолт. $(1+2+4+8)\cdot 4=60$ тул \begin{align*} N(4;100)&=N(3;100)+C_4^1\cdot N(3;84)+C_4^2\cdot N(3;68)+C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36)\\ &=C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36) \end{align*} $(1+2+4)\cdot 4=28$ тул \begin{align*} N(3;52)&=N(2;52)+C_4^1\cdot N(2;44)+C_4^2\cdot N(2;36)+C_4^3\cdot N(2;28)+N(2;20)\\ &=C_4^3\cdot N(2;28)+N(2;20)=4+N(2;20)\\ N(3;36)&=N(2;36)+C_4^1\cdot N(2;28)+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\ &=4+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\ \end{align*} $(1+2)\cdot 4=12$ тул \begin{align*} N(2;20)&=N(1;20)+C_4^1\cdot N(1;16)+C_4^2\cdot N(1;12)+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\\ &=6+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\\ N(2;12)&=N(1;12)+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\\ &=1+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\\ N(2;4)&=N(1;4)+4\cdot N(1;0) \end{align*} Түүнчлэн \begin{align*} N(1;8)&=N(0;8)+C_4^1\cdot N(0;6)+C_4^2\cdot N(0;4)+C_4^3\cdot N(0;2)+C_4^4\cdot N(0,0)\\ &=6+C_4^3\cdot C_4^2+1=31\\ N(1;4)&=N(0;4)+C_4^1\cdot N(0;2)+C_4^2\cdot N(0;0)\\ &=1+C_4^1\cdot C_4^2+6=31\\ N(1;0)&=1 \end{align*} Иймд \begin{align*} N(4;100)&=C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36)\\ &=4\cdot(4+N(2;20))+4+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\ &=20+10\cdot N(2;20)+4\cdot N(2;12)+N(2;4)\\ &=20+10\cdot \big(6+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\big)+4\cdot\big(1+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\big)\\ &{~~~~~~~}+N(1;4)+4\cdot N(1;0)\\ &=84+56\cdot N(1;8)+35\cdot N(1;4)+20\cdot N(1;0)\\ &=84+56\cdot 31+ 35\cdot 31+20\cdot 1=2925 \end{align*} байна.

Заавар. Эхний хоёр бодлого дээрээ адил оноо авсан 2 сурагч байхгүй.

Бодолт. Эхний хоёр оноо нь $49$ ялгаатай боломжтой тул сурагчдын тоо $49$-өөс хэтрэхгүй. Онооны нийлбэр нь $7$-д хуваагддаг хоёр хүүхдийн оноо эсвэл ижил эсвэл ядаж хоёр тоогоороо зөрнө.

Үүнийг ашиглан жишээ байгуулбал $(0,0,0)$, $(0,1,6)$, $(0,2,5)$, $(0,3,4)$, $(0,4,3)$, $(0,5,2)$, $(0,6,1)$, $(1,0,6)$, $(1,1,5),\ldots,(6,0,1)$, $(6,1,0)$, $(6,2,6)$, $(6,3,5)$, $(6,4,4)$, $(6,5,3)$, $(6,6,2)$ болно.