Сайн гараа 2018, 4-р анги

Сайн гараа 4-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: мин

1. Өгөгдсөн 5 натурал тооноос 3 тоог бүх боломжит аргаар сонгон авч нийлбэрийг олоход 5 ширхэг 144, 5 ширхэг 24 гарсан бол өгөгдсөн 5 тооны нийлбэрийг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. Бодлогын нөхцөлийг хангах натурал тоонууд олдохгүй болохыг эрэмбэлэх аргаар харуул.

Бодолт. Өгөгдсөн тоонуудыг $x_1\le x_2\le x_3\le x_4\le x_5$ гэвэл $x_1+x_2+x_3=24$, $x_3+x_4+x_5=144$ тул $x_4+x_5-x_1-x_2\ge 120$ байна. Иймд $x_4+x_5\ge 120$ тул $$x_1+x_4+x_5=x_2+x_4+x_5=144$$ болно. Иймд $x_1=x_2=x_3$ болно. Нөгөө талаас $x_1+x_2+x_3=24$ тул $x_1=x_2=x_3=8$ байна. 24-тэй тэнцүү нийлбэр дахин 4 хэрэгтэй тул $x_1+x_2+x_4=24$ (2 дахь бага нийлбэр) байна. Иймд мөн л $x_4=8$ байхаас өөр аргагүй. Түүнчлэн $x_3+x_4+x_5=144$ тул $$x_5=144-8-8=128$$ байх ёстой. Иймд өгөгдсөн тоонууд нь $8$, $8$, $8$, $8$, $128$ болно. Гэвч энэ тохиолдолд боломжит нийлбэрүүд нь 4 ширхэг 24, 6 ширхэг 144 болно. Энэ нь бодлогын нөхцөлийг хангах тоонууд олдоно гэж үзсэнд зөрчиж байна. Өөрөөр хэлбэр бодлогын нөхцөлийг хангах тоонууд олдохгүй.

2. Сурагч самбарт гурван оронтой, бичлэгтээ 0 цифр агуулаагүй дараалсан 9 тоо бичив. Бичигдсэн тоо бүрийн цифрүүдийг үржүүлээд үүсэх 9 тоог нэмэхэд 2520 гардаг бол самбарт бичигдсэн тоонуудыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. Бичлэгт нь $0$ цифр ороогүй тул сүүлийн цифрүүд нь $1, 2, 3,\ldots, 9$ ба өмнөх цифрүүд нь ижил байна.

Бодолт. Сүүлийн цифрээс өмнөх цифрүүдийн үржвэрийг $A$ гэвэл $$A\cdot 1+A\cdot 2+\cdots+A\cdot 9=45A=2520$$ болно. Иймд $A=\dfrac{2520}{45}=56$ болно. $A=56$ нь хоёр цифрийн үржвэрт зөвхөн $7\cdot 8=8\cdot 7=56$ гэж задрах тул сурагчийн бичсэн тоонууд нь $781,782,\ldots,789$ юмуу $871,872,\ldots,879$ байж болно.

3. Нэг эгнээнд байрласан 10 сандал дээр 3 багш, 7 сурагч суухаар болов. Хоёр багш зэрэгцэн суухгүй мөн багш бүрийн хоёр талд сурагчид суусан байхаар багш, сурагчдыг хэчнээн янзаар суулгаж болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Эхлээд сурагчдаа суулгаад дараа нь сурагчдын хоорондох зайнуудаас 3 багшийг суулгах зайг сонгоно.

Бодолт. Сурагчидаа $7!$ нэг эгнээнд оруулах боломжтой. Эхний багшийг эдгээр сурагчдын дунд 6 янзаар, 2 дахь багшийг 5 янзаар, 3 дахь багшийг 4 янзаар байрлуулаад энэ дарааллаар нь сандал дээр суулгана. Иймд нийт $7!\cdot 6\cdot 5\cdot 4=604800$ янзаар багш сурагчдыг суулгаж болно.

4. Гурван гэр бүлийн хосууд дэлгүүрээс худалдан авалт хийв. Дараах мэдээллүүд өгөгдсөн байв.
  1. Эхнэрүүд нийлээд 2408 төгрөг, нөхрүүд нийлээд 5632 төгрөг зарцуулав.
  2. A эмэгтэй B эмэгтэйн зарцуулсан мөнгөний хагасаас 400 төгрөг илүү зарцуулав.
  3. C эмэгтэй A эмэгтэйгээс 204 төгрөг илүү зарцуулав.
  4. X эрэгтэй эхнэрээсээ 4 дахин их төгрөг зарцуулав.
  5. Y эрэгтэй эхнэрээсээ 8 төгрөг илүү зарцуулав.
  6. Z эрэгтэй эхнэрээсээ 1.5 дахин их төгрөг зарцуулав.
гэсэн мэдээллүүдийг мэдсэнээр нэг гэр бүлийн хосуудыг зөв харгалзуул.

Заавар Бодолт
Заавар. Эхлээд эмэгтэйчүүд тус бүрдээ хэдэн төгрөг зарцуулсаныг ол.

Бодолт. A эмэгтэйн зарцуулсан мөнгийг $x$ төгрөг гэвэл B эмэгтэйн зарцуулсан мөнгө $2(x-400)$ төгрөг, C эмэгтэйн зарцуулсан мөнгө $x+204$ байна. Бүгд нийлээд $$x+2(x-400)+x+204=2408$$ тул $4x=2408+800-204=3004$ буюу A эмэгтэй $x=751$ төгрөг зарцуулжээ. Иймд B эмэгтэй $2(751-400)=702$ төгрөг ба С эмэгтэй $751+204=955$ төгрөг зарцуулсан байна.

Эдгээрээс $1.5$ дахин үржүүлэхэд бүхэл тоо гарах нь $702$ тул B эмэгтэйн нөхөр нь Z эрэгтэй байна. Хэрэв X эрэгтэйн эхнэр А эмэгтэй байсан бол X эрэгтэй $751\cdot 4=3004$ төгрөг, Y эрэгтэй $955+8=963$ буюу нөхрүүд нийтдээ $$702\cdot 1.5+3004+963=5020$$ төгрөг төлсөн болоход хүрнэ. Иймд Х эрэгтэйн эхнэр нь C эмэгтэй байна. Үнэхээр $$702\cdot 1.5+955\cdot 4+759=5632$$ төгрөг болж байна.