Сайн гараа 2018, 7-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: мин
1. Цифрүүдийн үржвэр нь 2000 байдаг 7-оос хэтрэхгүй оронтой тоо хэчнээн байх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. $2000=2^4\cdot 5^3$ тул $1,2,4,5,8$ цифрүүдийг ашиглан 7-оос хэтрэхгүй оронтой тоо үүсгэнэ.
Бодолт. 7 оронтой цифрүүдийн үржвэр нь 2000 байдаг бол цифрүүд нь $\{2,2,2,2,5,5,5\}$; $\{1,2,2,4,5,5,5\}$; $\{1,1,4,4,5,5,5\}$; $\{1,1,2,8,5,5,5\}$ байна. 6 оронтой цифрүүдийн үржвэр нь 2000 байдаг бол цифрүүд нь $\{2,2,4,5,5,5\}$; $\{1,4,4,5,5,5\}$; $\{1,2,8,5,5,5\}$ байна. 5 оронтой цифрүүдийн үржвэр нь 2000 байдаг бол цифрүүд нь$\{4,4,5,5,5\}$; $\{2,8,5,5,5\}$ байна. 4 ба түүнээс цөөн оронтой тооны цифрүүдийн үржвэр $2000$ гарах боломжгүй.
Эдгээр боломж тус бүрд хэдэн тоо бичиж болохыг тооцвол
$$\dfrac{7!}{4!3!}+2\times\dfrac{7!}{1!2!1!3!}+\dfrac{7!}{2!2!3!}+2\times\dfrac{6!}{2!1!3!}+\dfrac{6!}{1!1!1!3!}+\dfrac{5!}{2!3!}+\dfrac{5!}{1!1!3!}$$
$$=35+2\cdot420+210+2\times60+120+10+20=1355$$
ширхэг 7-оос хэтрэхгүй оронтой, цифрүүдийнх нь үржвэр 2000-той тэнцүү тоо байна.
2. $A=\dfrac{1^2}{1\cdot 3}+\dfrac{2^2}{3\cdot 5}+\dfrac{3^2}{5\cdot 7}+\dfrac{4^2}{7\cdot 9}+\cdots+\dfrac{100^2}{199\cdot 201}$ нийлбэрийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. $B=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\dfrac{1}{199\cdot 201}$ нийлбэрийг эхэлж олоод $4A-B$-г ол.
Бодолт. \begin{align*}
B&=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\dfrac{1}{199\cdot 201}\\
&=\dfrac12\left(\dfrac11-\dfrac13\right)+\dfrac12\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\cdots+\dfrac12\left(\dfrac1{199}-\dfrac1{201}\right)\\
&=\dfrac12\left(1-\dfrac{1}{201}\right)=\dfrac{100}{201}
\end{align*}
ба
\begin{align*}
4A-B&=4\cdot\left(\dfrac{1^2}{1\cdot 3}+\dfrac{2^2}{3\cdot 5}+\cdots+\dfrac{100^2}{199\cdot 201}\right)-\left(\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\dfrac{1}{199\cdot 201}\right)\\
&=\dfrac{2^2-1}{1\cdot 3}+\dfrac{4^2-1}{3\cdot 5}+\dfrac{6^2-1}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{200^2-1}{199\cdot 201}\\
&=\dfrac{(2-1)(2+1)}{1\cdot 3}+\dfrac{(4-1)(4+1)}{3\cdot 5}+\dfrac{(6-1)(6+1)}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{(200-1)(200+1)}{199\cdot 201}\\
&=1+1+\cdots+1=100
\end{align*}
тул $A=\dfrac{B+100}{4}=\dfrac{\frac{100}{201}+100}{4}=25\dfrac{25}{201}$ байна.
3. 1-ээс 121 хүртэлх бүх натурал тоонуудыг $11\times11$ хүснэгтэд байрлуулав. Бат мөр бүрийн ард уг мөрийн бүх тоонуудын үржвэрийг, харин Цэцэг багана бүрийн доор уг баганын бүх тоонуудын үржвэрийг тус тус бичив. Тэгвэл хүн тус бүрийн 11 тооноос бүрдсэн цуглуулга нь давхацсан байхаар хүснэгтэд дээрх 121 тоог байрлуулж болох уу?
Заавар Бодолт
Заавар. 60-аас их анхны тоонуудыг сонирх.
Бодолт. 60-аас их ба 121-ээс хэтрэхгүй анхны тоонууд нь
$$61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113$$
гэсэн 13 ширхэг анхны тоо байна. $2\cdot 61>121$ тул эдгээр анхны тоонуудыг хуваадаг өөр тоо 1-ээс 121 тоону дотор байхгүй. Дирихлейн зарчимаар нэг баганад орох 2 анхны тоо дээрх тоонуудаас олдоно. Эдгээрийг $p$, $q$ гэвэл агуулсан багана нь $pq$-д хуваагдана. Гэтэл $p$ ба $q$ нь өөр өөр мөрөнд бичигдэх тул эдгээрт зэрэг хуваагдах мөр олдохгүй. Иймд мөр ба баганын үржвэрүүдийг ялгаатай байхаар бичих боломжгүй юм.
4. $1,2,3,\ldots,49,50$ тоонуудаас хэдэн ширхэг тоо авахад тэдгээр тоонууд дунд нийлбэр нь үржвэрээ хуваадаг 2 тоо ямагт олддог байхаар хамгийн цөөндөө хэдэн тоо сонгон авах вэ?