Бага сунгаа V, 8-р анги

Бага сунгаа V, 8-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 150 мин


1. Бат $a$, $b$, $c$ гэсэн 3 бүхэл тоо бичээд дараа нь $a+b=c$, $b\cdot c=a$ болохыг анзаарсан гэв. Батын бичсэн байж болох бүх $a$, $b$, $c$ тоонуудыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $xy=-1$ тэгшитгэл $(x,y)=(-1,1)$ ба $(x,y)=(1,-1)$ гэсэн 2 бүхэл шийдтэй.

Бодолт. $a+b=bc+b=c$ тул $$b(c+1)-c-1=(b-1)(c+1)=-1$$ болно. $-1$ нь зөвхөн $-1$, $1$ гэсэн бүхэл хуваагчтай тул $b-1=1$, $c+1=-1$ эсвэл $b-1=-1$, $c+1=0$ байна. Эхний тохиолдолд $b=2$, $c=-2$, $a=-4$ гэсэн шийд, хоёр дахь тохиолдолд $a=b=c=0$ гэсэн шийд гарна.


2. $ABC$ гурвалжны $\angle A=30^\circ$ ба $\angle B=90^\circ$ болно. $B$ оройгоос $AC$ талд $BD$ өндөр буулгав. Дараа нь $BDC$ гурвалжны $D$ оройгоос $BC$ талд $DE$ медиан татжээ. Эцэст нь $DEC$ гурвалжны $E$ оройгоос $EF$ биссектрис татав. Тэгвэл $FC:AC$ харьцааг ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $ABC$ нь зөв гурвалжныг хагаслан хуваахад гарах гурвалжин болохыг ашигла.

Бодолт.
$AC=2BC$ байна. $\triangle BDC$ мөн зөв гурвалжныг хагаслан хуваахад гарах гурвалжин тул $BC=2CD$ байна. $\triangle BCD$ нь мөн л $90^\circ$, $30^\circ$ өнцөгтэй гурвалжин ба $DE$ медиан тул $CD=\dfrac{BC}2=CE$ болно. Түүнчлэн $\angle C=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$ тул $\triangle CDE$ зөв гурвалжин болно. Иймд $EF$ биссектрис нь медиан болох тул $CE=2CF$ байна. Иймд $$CF=\dfrac{CE}2=\dfrac{BC}4=\dfrac{AC}{8}$$ буюу $FC:AC=1:8$ болов.


3. $9\times 9$ хэмжээтэй хөлөг дээр Бат, Цэцэг хоёр дараах тоглоомыг тоглов. Бат эхэлж үйлдэл хийх бөгөөд нэг удаагийн үйлдлээр Бат хөлгийн нэг нүдийг будна. Харин Цэцэг ерөнхий талтай 2 нүдийг будна (домино). Будагдсан нүдийг дахиж будахгүй бөгөөд Цэцэг үйлдэл хийж чадахгүй болоход үлдсэн бүх нүдийг Бат будна. Хөлгийн бүх нүд будагдаж дуусахад хэн олон нүд будсан нь хожино. Зөв тоглолтод хэн хожих вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Хөлөгийн төвийг хар өнгөтөй байхаар сөөлжилж будсан гээд зөвхөн хар өнгийн нүдийг будах тактик ашигла.

Бодолт.
Нийт 41 хар нүд байгаа. Бат зөвхөн хар нүдийг будаад байвал дор хаяж 21 ширхэг хар нүд будаж чадах нь ойлгомжтой юм. Энэ үед Цэцэг хамгийн ихдээ 20 хар нүд буюу 20 домино будах боломжтой. Ингэхэд Цэцэг хамгийн ихдээ 40 нүд л будаж чадах тул Бат хожино.


4. Дөрвөлжин шугамтай цаасан дээр 15 нүдтэй дүрс зурагджээ. Энэ дүрсийг тус бүр 1, 2, 3, 4, 5 ширхэг нүдтэй 5 дүрсэд шугамын дагуу хувааж болдоггүй байж болох уу? (Дүрсийн аль ч 2 нүд нь ерөнхий талтай нүднүүдээр дамжин холбогдож болох ёстой).

Заавар Бодолт
Заавар.
дүрсийг бодлогын нөхцөлд тохирохоор хувааж болохгүйг харуул.

Бодолт. Б. Батцэнгэл багшийн байгуулсан байгуулалт.
3, 4, 5 нүдтэй дүрсүүд нь будагдсан нүд заавал агуулах ёстой. Иймд энэ дүрсийг 1, 2, 3, 4, 5 нүдтэй дүрсүүдэд хувааж болохгүй.