Заавар. Хэдэн ч оронтой ийм тоо бичиж болохыг харуул.

Бодолт. $113$, $131$, $311$ тоонууд нь анхны тоонууд тул $$113113113\ldots$$ тооны дараалсан 3 цифрээр бичигдэх тоо бүр анхны тоо байна. Иймд ийм хамгийн их тоо оршин байхгүй.

Заавар. 3 ба 5 тохиолдолд хувааж харуулаад цаашид индукцээр батал.

Бодолт. Эхлээд $4k+3$, $4m+1$ квадратын хувьд үнэн байхыг индункцээр баталъя. $k=0$ үед $3\times 3$ ба $m=1$ үед $5\times 5$ квадратууд гарах ба ийм квадратуудыг зурагт хувааж үзүүлэв. Эдгээр дүрсийн эсрэг булангуудад дүрсийг байрлуулаад үлдэх хэсгийг дүрсээр хужиж болно. Ингэхэд квадрат тус бүрийн талын урт 4-өөр нэмэгдэх тул $4k+7$, $4m+5$ квадратуудыг хучиж чадах болж индукцийн шилжилт батлагдав. Аливаа сондгой тоо нь $4k+1$ эсвэл $4k+3$ хэлбэртэй тул батлах зүйл батлагдав.

Заавар.

Бодолт. Олох тоог $n$ гэе. Тэгвэл $$1001=d_1+d_2+d_3=n\left(\dfrac{1}{q_1}+\dfrac{1}{q_2}+\dfrac{1}{q_3}\right)\le n\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{13n}{12}$$ буюу $n\ge \dfrac{1001\cdot 12}{13}=924$ болно. $n=924$ үед $d_1=\dfrac{924}{2}=462$, $d_2=\dfrac{924}{3}=308$, $d_3=\dfrac{924}{4}=231$ ба $$d_1+d_2+d_3=462+308+231=1001$$ тул энэ нь хамгийн утга нь юм.

Заавар. $\measuredangle KCD=\measuredangle KDC$ гэж батал.

Бодолт. $\angle CAE=90^\circ+60^\circ=150^\circ$, $AC=AE$ тул $$\measuredangle ACE=\measuredangle AEC=\dfrac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ$$ $\triangle ACE=\triangle BCD$ тул $\measuredangle BCD=\measuredangle BDC=15^\circ$ байна. $$\measuredangle KCD=60^\circ-2\cdot 15^\circ=30^\circ,$$ $$\measuredangle KDC=45^\circ-15^\circ=30^\circ$$ буюу $\measuredangle KCD=\measuredangle KDC$ тул $\triangle KCD$ гурвалжин адил хажуут гурвалжин болно. Иймд $CK=DK$ байна.