Бүсийн олимпиад 2018, 8-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. Найман оронтой $A$ тооны зарим цифрийн байрыг хооронд нь сольж $B$ тоог гаргажээ. $A+B=20182019$ байж болох уу?
Заавар Бодолт
Заавар. Болно гэдгийг жишээгээр харуул.
Бодолт. Т. Базарын ирүүлсэн жишээнүүд:
$(A,B)$ хосууд нь:
$(10001518, 10180501)$, $(10025017, 10157002)$, $(10040119, 10141900)$, $(10041109, 10140910)$, $(10041910, 10140109)$, $(10057012, 10125007)$, $(10080511, 10101508)$, $(10081501, 10100518)$, $(10100518, 10081501)$, $(10101508, 10080511)$, $(10125007, 10057012)$, $(10140109, 10041910)$, $(10140910, 10041109)$, $(10141900, 10040119)$, $(10157002, 10025017)$, $(10180501, 10001518)$
байж болж байна.
$(A,B)$ хосууд нь:
$(10001518, 10180501)$, $(10025017, 10157002)$, $(10040119, 10141900)$, $(10041109, 10140910)$, $(10041910, 10140109)$, $(10057012, 10125007)$, $(10080511, 10101508)$, $(10081501, 10100518)$, $(10100518, 10081501)$, $(10101508, 10080511)$, $(10125007, 10057012)$, $(10140109, 10041910)$, $(10140910, 10041109)$, $(10141900, 10040119)$, $(10157002, 10025017)$, $(10180501, 10001518)$
байж болж байна.
2. Суварганы дээд нүдэнд бичигдсэн тоо нь доор байрлах 2 нүдэнд бичигдсэн 2 тооны үржвэртэй тэнцүү байна. Хамгийн доод эгнээний нүднүүдэд $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ тоонууд зурагт үзүүлсэн байдлаар бичигдсэн бол хамгийн дээд нүдэнд бичигдсэн тоо хэдэн тэгээр төгсөх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Тоо бүрийн 5-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг тооцоол.
Бодолт. Тоо бүрийн 5-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг дараах хүснэгтэнд тэмдэглэе. Мэдээж тоо бүр нь доор байрлах 2 тооныхоо нийлбэр байна.
Яг ижил аргаар тоо бүр 2-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг олж болох бөгөөд эндээс хамгийн дээр байрлах тоо нь 127 ширхэг тэгээр төгссөн тоо болох нь гарна.
3. Цифрүүд нь буурах дараалалтай тоог буурдаг тоо гэж нэрлэе. Жишээ нь $310$ нь буурдаг тоо, харин $12$, $333$ нь буурдаг тоо биш. $111$-д хуваагддаг буурдаг тоо олдох уу?
Заавар Бодолт
Заавар. Сүүлийн 3 цифрийг нь сүүлийн цифрээр нь багасгахад буурдаг тоо хэвээрээ үлдэх бөгөөд $111$-д хуваагдах чанар нь хадгалагдана.
Бодолт. $111$-д хуваагддаг буурдаг тоо оршин байдаг гэж үзье. Тэгвэл эдгээрийн хамгийн бага нь оршин байна. $A$ нь хамгийн бага буурдаг тоо байг. Хэрэв $A$ тооны сүүлийн цифр $0$ биш бол $A-111$ тоо нь $A$-аас бага буурдаг тоо болоход хүрч зөрчил үүснэ. Харин $A$ тоо тэг цифрээр төгсдөг бол $(10,111)=1$ тул $A/10$ тоо $111$-д хуваагдаг буурдаг тоо байна. Энэ $A$ тооны сонголттой зөрчилдөж байна. Иймд $111$-д хуваагдаг буурдаг тоо оршин байхгүй.
4. Дөрвөлжин шугамтай цаасан дээр зурсан сондгой талтай квадратын төвийн нүдийг ухаж авчээ. Квадратын үлдэх хэсгийг зурагт үзүүлсэн $4$ нүдтэй дүрсэд хувааж болохыг батал (дүрсийг яаж ч эргүүлж болно).
Заавар Бодолт
Заавар. 3 ба 5 тохиолдолд хувааж харуулаад цаашид индукцээр батал.
Бодолт. 
Эхлээд $4k+3$, $4m+1$ квадратын хувьд үнэн байхыг индункцээр баталъя. $k=0$ үед $3\times 3$ ба $m=1$ үед $5\times 5$ квадратууд гарах ба ийм квадратуудыг зурагт хувааж үзүүлэв. Эдгээр дүрсийн эсрэг булангуудад
дүрсийг байрлуулаад үлдэх хэсгийг
дүрсээр хужиж болно. Ингэхэд квадрат тус бүрийн талын урт 4-өөр нэмэгдэх тул $4k+7$, $4m+5$ квадратуудыг хучиж чадах болж индукцийн шилжилт батлагдав. Аливаа сондгой тоо нь $4k+1$ эсвэл $4k+3$ хэлбэртэй тул батлах зүйл батлагдав.
дүрсийг байрлуулаад үлдэх хэсгийг
дүрсээр хужиж болно. Ингэхэд квадрат тус бүрийн талын урт 4-өөр нэмэгдэх тул $4k+7$, $4m+5$ квадратуудыг хучиж чадах болж индукцийн шилжилт батлагдав. Аливаа сондгой тоо нь $4k+1$ эсвэл $4k+3$ хэлбэртэй тул батлах зүйл батлагдав.