Бүсийн олимпиад 2018, 7-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. Нэг оронтой $\overline{\text{А}}$ тоо нь хоёр оронтой $\overline{\text{БВ}}$ тооноос $\overline{\text{АБ}}\%$-оор бага байх $\text{А}$, $\text{Б}$, $\text{В}$ цифрүүдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $$\overline{\text{БВ}}\cdot\left(1-\dfrac{\overline{\text{AБ}}}{100}\right)=\overline{\text{А}}$$
буюу
$$\overline{\text{БВ}}\cdot(100-\overline{\text{АБ}})=\overline{\text{А}}\cdot 100$$
Эндээс $\overline{\text{В}}=0$ бол
$$\overline{\text{Б}}\cdot(100-\overline{\text{АБ}})=\overline{\text{А}}\cdot 10$$
болох ба баруун тал нь 10-д хуваагдана гэдгээс $\overline{\text{Б}}=5$ ($\overline{\text{Б}}\neq0$) болж зөрчил үүсч байна. Иймд $\overline{\text{В}}\neq 0$ болно. Түүнчлэн $\overline{\text{Б}}\neq 0$ байх нь ойлгомжтой. Эндээс $\overline{\text{БВ}}$, $100-\overline{\text{АБ}}$ тоонуудын хоёулаа 5-аар төгссөн эсвэл яг нэг нь $25$-д хуваагдана.
- $\overline{\text{Б}}=\overline{\text{В}}=5$ бол $55\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-5)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Ийм байх $\overline{А}$ цифр олдохгүй.
- $\overline{\text{БВ}}=25$ бол $25\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-2)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Эндээс $\overline{А}=7$ болно.
- $\overline{\text{БВ}}=75$ бол $75\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-7)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Гэвч ийм $\overline{А}$ цифр олдохгүй.
- $100-\overline{\text{АБ}}=25$ бол $\overline{\text{АБ}}=75$ болно. Иймд $\overline{\text{5В}}\cdot 25=2\cdot 100$ ба $\overline{\text{5В}}\neq 8$ тул ийм тоо оршин байхгүй.
- $100-\overline{\text{АБ}}=75$ бол $\overline{\text{АБ}}=25$ болно. Иймд $\overline{\text{5В}}\cdot 75=7\cdot 100$ болох ба ийм байх боломжгүй.
2. Долоон оронтой $A$ тооны зарим цифрийн байрыг хооронд нь сольж $B$ тоог гарган авчээ. $B>A$ бол $B-A$ ялгаварт хамгийн олондоо хэдэн ширхэг $7$ цифр байж болох вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $B-A$ ялгавар $9$-д хуваагдах тул $7777777$ буюу $7$ ширхэг $7$ цифр байж болохгүй. $6$ ширхэг байж болохыг жишээгээр харуулъя.
$A=1530864$, $B=5308641$ үед
$$B-A=3777777$$
3. Суварганы дээд нүдэнд бичигдсэн тоо нь доор байрлах 2 нүдэнд бичигдсэн 2 тооны үржвэртэй тэнцүү байна. Хамгийн доод эгнээний нүднүүдэд $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ тоонууд зурагт үзүүлсэн байдлаар бичигдсэн бол хамгийн дээд нүдэнд бичигдсэн тоо хэдэн тэгээр төгсөх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Тоо бүрийн 5-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг тооцоол.
Бодолт. Тоо бүрийн 5-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг дараах хүснэгтэнд тэмдэглэе. Мэдээж тоо бүр нь доор байрлах 2 тооныхоо нийлбэр байна.
Яг ижил аргаар тоо бүр 2-ийн хэдэн зэрэгт хуваагдахыг олж болох бөгөөд эндээс хамгийн дээр байрлах тоо нь 127 ширхэг тэгээр төгссөн тоо болох нь гарна.
4. Дотроо $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ширхэг будагдсан нүд агуулдаг $2\times 2$ хэмжээтэй квадратын тоонууд хоорондоо тэнцүү байхаар $11\times 11$ хэмжээтэй хүснэгтийн зарим нүднүүдийг будаж болох уу?
