IMO-59, 2018, Romania   

1. $\Gamma$ тойрогт багтсан хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AB$ ба $AC$ талууд дээр $D$ ба $E$ цэгүүдийг $AD = AE$ байхаар авав. $BD$ ба $CE$ хэрчмүүдийн дундаж цэгт татсан перпендикулярууд $\Gamma$ тойргийн $AB$ ба $AC$ богино нумуудыг харгалзан $F$ ба $G$ цэгүүдэд огтолдог. $DE$ ба $FG$ шулуунууд параллель гэдгийг батал.

2. $a_{n+1} = a_1$ ба $a_{n+2} = a_2$ байх бөгөөд $i = 1, 2,\dots, n$ утгуудад $$a_i\cdot a_{i+1} + 1 = a_{i+2}$$ биелэх бодит $a_1, a_2,\ldots, a_{n+2}$ тоонууд оршин байдаг бүх бүхэл $n\ge 3$ тоог ол.

3. Хамгийн доод талын мөрөөс бусад мөрөнд бичигдсэн тоо бүр түүний доор бичигдсэн 2 тооны ялгаврын модультай тэнцүү байхаар зөв гурвалжин хэлбэртэй бичигдсэн тоонуудын бүрдлийг Паскалийн хасах гурвалжин гэе. Жишээлбэл, $1$-ээс $10$ хүртэлх тоонуудаас бүрдэх 4 мөртэй Паскалийн хасах гурвалжин: $$\begin{array}{c} 4\\ 2~~6\\ 5 ~~7 ~~1\\ 8 ~~3 ~~10~~ 9 \end{array}$$ Тэгвэл $1$-ээс $1 + 2 + \cdots + 2018$ хүртэлх тоонуудаас бүрдэх $2018$ мөртэй Паскалийн хасах гурвалжин оршин байх уу?

4. $x$ ба $y$ нь 20-оос хэтрэхгүй эерэг бүхэл тоо байх хавтгайн $(x, y)$ цэг бүрийг толбо гэе. Анх эдгээр $400$ толбоны аль ч толбон дээр чулуу байгаагүй. Бат, Цэцэг хоёр ээлжлэн өөрийн чулууг толбон дээр байрлуулах бөгөөд Цэцэг эхэлнэ. Цэцэг улаан чулуутай аль ч 2 толбоны хоорондох зай $\sqrt5$-тай тэнцэхгүй байхаар чулуугүй толбон дээр улаан чулуу байрлуулна. Бат өөрийн ээлжид чулуугүй толбон дээр хөх чулуу байрлуулна (хөх чулуутай толбо чулуутай өөр бусад толбоноос ямар ч зайд байж болно). Хэн нэг нь үйлдэл хийх боломжгүй болсон үед тэд зогсоно. Бат хөх чулуунуудаа хаана байрлуулснаас үл хамааран Цэцэг дор хаяад $K$ ширхэг улаан чулууг байрлуулж чаддаг байх хамгийн их $K$ тоог ол.

5. Эерэг бүхэл тоон $a_1, a_2, \ldots$ төгсгөлгүй дараалал өгөгдөв. Хэрэв $n\ge N$ бүрийн хувьд $$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}$$ нийлбэр бүхэл байх $N>1$ дугаар олддог бол $m\ge M$ бүрийн хувьд $a_m = a_{m+1}$ биелэх $M$ дугаар олдоно гэж батал.

6. $AB \cdot CD = BC \cdot DA$ адилтгал биелэх $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгт дотор $\angle XAB = \angle XCD$ ба $\angle XBC = \angle XDA$ байх $X$ цэг авав. $\angle BXA + \angle DXC = 180^\circ$ болохыг үзүүл.