Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Дараалал ба цуваа
Арифметик ба геометр прогрессийн гишүүдийн чанар
Арифметик ба геометр прогрессийн хольмог бодлогууд
$x, y, z$ гурван тоо нь энэ дарааллаараа нэгээс ялгаатай хуваарь бүхий геометр прогресс үүсгэж байв. Харин $x, 2y, 3z$ гурван тоо нь энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэх бол геометр прогрессийн хуваарийг ол.
Нийлбэр нь $78$-тай тэнцүү гурван тоо өсөх геометр прогрессийг үүсгэж байв. Тэдгээрийг арифметик прогресс нэг, гурав, ес дэхь гишүүд гэж үзэж болно. Эдгээр тоонуудын хамгийн ихийг ол.
3 тооны гурав дахь нь 12 ба эдгээр тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хэрэв 12-н оронд 9-г авбал үүсэх 3 тоо нь арифметик прогресс үүсгэнэ. Анхны 3 тоог ол.
Өгөгдсөн 3 тоо нь арифметик прогрессийн нэг, хоёр, гурав дахь гишүүд болох ба харгалзан геометр прогрессийг нэг, гурав, хоёр дахь гишүүд болно. Эхний тооны квадрат дээр хоёр дахь тоог хоёр дахин үржүүлж, гуравдахь тоог гурав дахин үржүүлж нэмбэл $3/4$ үүсэх бол эдгээр тоонуудыг ол.
Эхний 10 гишүүний нийлбэр нь 300 ба нэг, хоёр, тав дахь гишүүд нь геометр прогресс үүсгэдэг арифметик прогрессийг ол.
Өсөх геометр прогрессийн эхний 3 гишүүний нийлбэр 65. Эхний гишүүнээс 1-ийг хасаад 2 дахь тоог хэвээр үлдээж, 3 дахь тооноос 19-ийг хасвал арифметик прогресс үүснэ. Анхны гурван тоог ол.
Өгөгдсөн таван ялгаатай тоо нь арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болдог байв. Хэрвээ 2, 3 гишүүдийг нь хасвал үлдэх гурван тоо нь геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болох бол уг прогрессийн хуваарийг ол.
${a}_{1} ,a_{2}, a_{3}$ нь арифметик прогресс үүсгэх ба уг тоонуудын квадратууд нь геометр прогресс үүсгэнэ. Хэрэв ${a}_{1} + a_{2} + a_{3}=21$ бол ${a}_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$-ийг ол.
$4$ эерэг тооны эхний гурав нь арифметик прогресс, сүүлийн гурав нь геометр прогресс үүсгэнэ. Эхний гурван тооны нийлбэр нь $12$, сүүлийн гурван тооны нийлбэр нь $19$ бол уг дөрвөн тоог ол.
Арифметик прогрессий эхний гишүүн нь геометр прогрессийн эхний гишүүнээс $2$ дахин их ба $2$ дахь гишүүнээс нь $5$ дахин их. Арифметик прогрессийн $4$ дахь гишүүн нь $2$ дахь гишүүнийхээ $50\%$-тай тэнцүү. Арифметик прогрессийн $2$ дахь гишүүн нь геометр прогрессийн $3$ дахь гишүүнээс $36$-аар их бол арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг ол.
- $p$, $q$, $r$, $s$ эерэг тоонуудын хувьд $p+q+r=27$, $q+r+s=19$ ба $p$, $q$, $r$ нь арифметик прогресс, $q$, $r$, $s$ геометр прогресс үүсгэх бол тэдгээрийг ол.
- $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$, $(\alpha< 0< \beta)$ нь нэгэн зэрэг арифметик болон геометр прогресс үүсгэх (энэ дарааллаараа байх албагүй) бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$p$, $q$, $r$, $s$ тоонуудын хувьд $p$, $q$, $r$ геометр прогресс, $q$, $r$, $s$-арифметик прогресс үүсгэх ба $p+q+r=19$, $q+r+s=12$ бол $p, q, r, s$-ийг ол.
$b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ тоонууд геометр прогрессын дараалсан гишүүд ба харгалзан $6$, $7$, $6$, $1$-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүснэ. $b_1+b_2+b_3+b_4$ нийлбэрийг ол.
A. $100$
B. $50$
C. $40$
D. $60$
E. $30$
$b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ тоонууд геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба харгалзан 6, 11, 12, 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүснэ. $b_1+b_2+b_3+b_4$ нийлбэрийг ол.
A. $30$
B. $40$
C. $50$
D. $260$
E. $100$
Арифметик прогрессийн 1 ба 3-р гишүүн, геометр прогрессийн 1 ба 3-р гишүүнтэй харгалзан тэнцүү. Арифметик прогрессийн 1-р гишүүн 4, түүний 2-р гишүүн геометр прогрессийн 2-р гишүүнээс 32-оор илүү, энэ хоёр прогрессийн бүх гишүүд эерэг бол арифметик прогрессийн ялгаврыг ол.
A. 46
B. 47
C. 48
D. 49
E. 50
$a_1=4$, $S_5=40$ байх арифметик прогрессийн $d=q$, $a_1=b_1$ нөхцөлийг хангах геометр прогрессийн 5-р гишүүнийг ол.
A. $64$
B. $16$
C. $32$
D. $8$
E. $128$
4 эерэг тооны эхний гурав нь арифметик прогресс, сүүлийн 3 нь геометр прогрессийн дараалсан гишүүд болох бөгөөд эхний гурван тооных нь нийлбэр 12, сүүлийн гурван тооных нь нийлбэр 19 бол сүүлийн тоог ол.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Арифметик прогресс үүсгэх гурван тооны нийлбэр 30 ба түүний дундах тооноос 4-ийг хасвал геометр прогресс үүсгэх гурван тоо аль вэ?
A. 5, 10, 15
B. 4, 10, 16
C. 1, 9, 25
D. 3, 10, 17
E. 2, 10, 18
Геометр прогресс үүсгэх гурван тооны үржвэр 64 ба түүний дундахь гишүүн дээр 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүсгэнэ. Энэ гурван тоо аль вэ?
A. 1, 4, 14
B. $\frac12$, 4, 32
C. 1, 4, 16
D. $\dfrac14$, 4, 64
E. 2, 4, 8
Өсөх арифметик прогресс үүсгэдэг 3 тооны нийлбэр 15 ба эдгээрийн дундахь тооноос нэгийг хасвал геометр прогресс үүсгэдэг бол арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $2$
B. $-2$
C. $3$
D. $4$
Буурах геометр прогресс үүсгэдэг 3 тооны үржвэр 27, дундахь тоон дээр нь 2-ыг нэмбэл буурах арифметик прогресс үүсгэх бол геометр прогрессийн хуваарь аль вэ?
A. $3$
B. $1$
C. $\frac13$
D. $\frac12$
3 ба 18-ын хооронд хоёр тоо орших бөгөөд энэхүү дарааллын эхний гурван гишүүн нь геометр, сүүлчийн гурван гишүүн нь арифметик прогресс үүсгэх бол тэр хоёр тооны үржвэр хэд байх вэ?
A. $27$
B. $36$
C. $48$
D. $72$
2 ба 12,8-ын хооронд хоёр тоо орших бөгөөд энэхүү дарааллын эхний гурван гишүүн нь арифметик, сүүлчийн гурван гишүүн нь геометр прогресс үүсгэх бол тэр хоёр тооны нийлбэр хэд байх вэ?
A. $6$
B. $9$
C. $13$
D. $10$
Өсөх арифметик прогрессийн $a_1+a_2+a_3=15$ ба $a_1-1$, $a_2-1$, $a_3+1$ гурван тоо геометр прогресс үүсгэж байвал арифметик прогрессийн $S_{10}$-ийг ол.
A. $120$
B. $118$
C. $116$
D. $112$
Буурах геометр прогрессийн $b_1\cdot b_2\cdot b_3=27$ ба $b_1-1$, $b_2+1$, $b_3-1$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэх бол геометрийн прогрессийн $S_6$-ийг ол.
A. $\frac{320}{27}$
B. $\frac{364}{9}$
C. $\frac{364}{18}$
D. $\frac{364}{27}$
$4,x,y$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэнэ. Хэрэв $y$ дээр 4-ийг нэмбэл геометр прогресс үүснэ. $x$-ийн утгын олонлогийг ол.
A. $\{0,1\}$
B. $\{0,8\}$
C. $\{4,-4\}$
D. $\{0,-4\}$
$x,y,18$ тоонууд геометр прогресс үүсгэнэ. $y$ дээр 4-ийг нэмбэл тэд арифметик прогресс үүсгэнэ. $y$-ийн утгын олонлогийг ол.
A. $\{10,-10\}$
B. $\{0,30\}$
C. $\{6,30\}$
D. $\{10,0\}$
$a_1=2$ , $S_4=32$ байх арифметик прогрессийн $d=q$, $a_1=b_1$ нөхцөлийг хангах геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг ол.
A. 10
B. 14
C. 30
D. 32
E. 28
Өсөх арифметик прогресс үүсгэдэг 3 тооны нийлбэр 15 ба эдгээрийн дундах тооноос нэгийг хасвал геометр прогресс үүсгэнэ. Арифметик прогрессийн ялгавар аль нь вэ?
A. $2$
B. $-2$
C. $3$
D. $4$
E. $-3$
Өсөх арифметик прогресс үүсгэдэг 3 тооны нийлбэр 15 ба эдгээрийн дундахь тооноос нэгийг хасвал геометр прогресс үүсгэдэг бол арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $2$
B. $-2$
C. $3$
D. $4$
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд $a_1-2$, $a_2-4$, $a_3-6$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх ба мөн $a_1+1$, $a_2+4$, $a_3+8$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол $\{a_n\}$ прогрессийн
- ялгавар нь $\fbox{a}$
- $a_1=\fbox{bc}$
- $a_5=\fbox{de}$ байна.
$\left\{a_{n} \right\}$ арифметик прогрессийн хувьд $a_{1} +1$, $a_{2} +2$, $a_{3} +3$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх ба мөн $a_{1} +1$, $a_{2} +3$, $a_{3}+6$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол $\left\{a_{n} \right\}$ арифметик прогрессийн
- ялгавар нь $\fbox{ab}$,
- $a_{1} =\fbox{c}$,
- $a_{7} =\fbox{de}$ байна.
$v, w, x, y$ нь яг энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 4 гишүүн ба $v, w, x+9, y+54$ нь яг энэ дарааллаараа геометр прогрессийн дараалсан 4 гишүүн болдог бол $v=\fbox{a}$, $w=\fbox{b}$, $x=\fbox{c}$, $y=\fbox{de}$. Арифметик прогрессийн ялгавар $\fbox{f}$-тэй тэнцүү, геометр прогрессийн ноогдвор $\fbox{g}$.
Гурвалжны талууд ба оройн өнцгүүд нь тус тус
арифметик прогресс үүсгэх бол уг гурвалжны хамгийн их өнцөг нь
$\fbox{ab}^\circ$ байна.
Гурвалжны талууд геометр прогресс, оройн өнцгүүд нь
арифметик прогресс үүсгэх бол уг гурвалжны хамгийн их өнцөг
$\fbox{ab}^\circ$ байна.
$p,q,r,s$ эерэг тоонууд өгөгдөв. $p,q,r$
тоонууд геометр прогресс үүсгэх ба нийлбэр нь 19 байв. Харин
$q,r, s$ тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг ба нийлбэр нь 12
бол $p=\fbox{a}, p=\fbox{b},r=\fbox{c},s=\fbox{d}$ байна.
$p,q,r,s$ эерэг тоонууд өгөгдөв. $p,q,r$
тоонууд арифметик прогресс үүсгэх ба нийлбэр нь 27 байв. Харин
$q,r, s$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг ба нийлбэр нь 19
бол $p=\fbox{ab}, q=\fbox{c},r=\fbox{d},s=\fbox{e}$ байна.
$\{a_n\}$ арифметик, $\{b_n\}$ геометр прогресс өгөгдөв.
Арифметик прогрессийн ялгавар тэгээс ялгаатай ба $a_1=b_1,
a_2=b_2, a_4=b_4$ бол $\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарь
$q=\fbox{ab}$ байна. Хэрэв $b_3=144$ бол $a_3=\fbox{cdef}$ байна.
$\{a_n\}$ арифметик, $\{b_n\}$ геометр прогресс
өгөгдөв. Арифметик прогрессийн ялгавар тэгээс ялгаатай ба
$a_1=b_1, a_2=b_3, a_6=b_5$ бол $\{b_n\}$ геометр
прогрессийн хуваарь $q=\pm\fbox{a}$ байна. Хэрэв $b_3=36$ бол
$a_4=\fbox{bc}$ байна.
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн ялгаврыг $d$, эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$,
$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг $q$-ээр тэмдэглэе. $a_1>0$, $q>0$ ба
$$
a_{13}=0, a_1=b_1, b_3=a_{10} \text{ байг.}
$$
1) Тэгвэл $a_1+\fbox{ab}\ d=0$, $q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ байна.
2) Тэгээс бага $S_n$-үүдийг авч үзье. $n=\fbox{ef}$ үед $S_n$ нь хамгийн их утгаа авна.
3) $S_{10}=25$ бол $a_1=\fbox{g}$ байх ба $\sum_{k=1}^{6} b_k=\dfrac{\fbox{hi}}{\fbox{j}}$ болно.
2) Тэгээс бага $S_n$-үүдийг авч үзье. $n=\fbox{ef}$ үед $S_n$ нь хамгийн их утгаа авна.
3) $S_{10}=25$ бол $a_1=\fbox{g}$ байх ба $\sum_{k=1}^{6} b_k=\dfrac{\fbox{hi}}{\fbox{j}}$ болно.
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн ялгаврыг $d$, эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$,
$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг $q$-ээр тэмдэглэе. $a_1< 0$, $q>0$ ба
$$
a_{9}=0, a_1=b_1, b_3=a_{7} \text{ байг.}
$$
1) Тэгвэл $a_1+\fbox{a}\ d=0$, $q=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна.
2) Тэгээс их $S_n$-үүдийг авч үзье. $n=\fbox{de}$ үед $S_n$ нь хамгийн бага утгаа авна.
3) $S_{9}=-9$ бол $a_1=-\fbox{f}$ байх ба $\sum_{k=1}^{6} b_k=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{ij}}$ болно.
2) Тэгээс их $S_n$-үүдийг авч үзье. $n=\fbox{de}$ үед $S_n$ нь хамгийн бага утгаа авна.
3) $S_{9}=-9$ бол $a_1=-\fbox{f}$ байх ба $\sum_{k=1}^{6} b_k=\dfrac{\fbox{gh}}{\fbox{ij}}$ болно.
1) $\{a_n\}$ арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$ гэе.
$$a_{1}=38, a_{m+1}=5, S_{m+1}=258 \text{ бол}$$
$m=\fbox{ab}$ ба ялгавар нь $\fbox{cd}$ байна. $n=\fbox{ef}$ үед $S_n$ хамгийн их утгатай байна.
2) $\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарь $q>0$ болог. Эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $T_n$ гэвэл $5T_2=4T_4$ нөхцөл биелнэ. $T_4=(q^2+\fbox{g})T_2$ гэдгээс $q=\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{i}}$ гэж олдоно.
Тогтмол тоо $p=\fbox{jk}b_1$ бол
$$
U_n=p+T_n
$$
дараалал геометр прогресс үүсгэнэ.
1) $\{a_n\}$ арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$, ялгаврыг $d$ гэе.
$$d=2, a_{k}=1, S_{k}=-80 \mbox{бол}$$
$k=\fbox{ab}$ ба $a_1=-\fbox{cd}$ байна. $S_n$-ийн хамгийн бага утга $\fbox{efg}$ болно.
2) $\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарь $q>0$, $q\neq 1$ байг.
$$10(b_1-b_2)=9(b_1-b_2+b_3-b_4)$$ бол
$b_1-b_2+b_3-b_4=(q^2+\fbox{h})(b_1-b_2)$ гэдгээс
$q=\dfrac{\fbox{i}}{\fbox{j}}$ байна. $L_n$ нь энэ прогрессийн
эхний $n$ гишүүний нийлбэр, тогтмол тоо
$p=-\dfrac{\fbox{k}}{\fbox{l}}b_1$ бол
$$U_n=p+L_n$$
дараалал геометр прогресс үүсгэнэ.
$\{a_n\}$ - арифметик прогрессийн хувьд $a_1-1$, $a_2-2$, $a_3-3$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх ба мөн $a_1-1$, $a_2-3$, $a_3-6$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол $(a_n)$-арифметик прогрессийн
- ялгавар нь $\fbox{a}$
- $a_1=\fbox{b}$
- $a_{11}=\fbox{cd}$ байна.
Нэгэн геометр прогрессийн $5,8$ ба $11$-р гишүүн нь эрс өсдөг арифметик прогрессийн харгалзан $1,2$ ба $10$-р гишүүн болдог байв. Хэрэв геометр прогрессийн эхний гишүүн нь $b_1$ ба ноогдвор нь $q$, арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь $a_1$ ба ялгавар нь $d$ бол дараах утгуудыг ол.
- $q=\fbox{a}$
- $\dfrac{d}{a_1}=\fbox{b}$
- $\dfrac{a_1}{b_1}=\fbox{acd}$
$v, w, x, y$ нь яг энэ дарааллаараа арифметик прогрессийн дараалсан 4 гишүүн ба $v, w, x+9, y+54$ нь яг энэ дарааллаараа геометр прогрессийн дараалсан 4 гишүүн болдог бол $v=\fbox{a}$, $w=\fbox{b}$, $x=\fbox{c}$, $y=\fbox{de}$. Арифметик прогрессийн ялгавар $\fbox{f}$-тэй тэнцүү, геометр прогрессийн ноогдвор $\fbox{g}$.
Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо
Уулчин уул өөд авирахдаа эхлээд цагт 800 метр авирав. Дараагийн цаг тутамд өмнөхөөсөө 25 метрээр бага авирсан бол 5700 метрийн өндөрт хэдэн цагийн дараа гарсан вэ?
Арифметик прогрессийн хоёр ба дөрөв дүгээр гишүүд 6 ба 16 байв. 5 дугаар гишүүнийг ол.
Хэрэв хоёр дахь гишүүн нь 8, арав дахь гишүүн нь 40 бол арифметик прогрессийн эхний 12 гишүүний нийлбэрийг ол.
Арифметик прогрессийн дөрөв дэх гишүүн нь 16, долоо болон арав дахь гишүүний нийлбэр 5. Арифметик прогрессийн эхний 18 гишүүний нийлбэрийг ол.
Хэрэв эхний таван гишүүнийх нь нийлбэр 40, долоо болон арван гурав дахь гишүүдийн нийлбэр 58-тэй тэнцүү бол арифметик прогрессийн нэг дэх гишүүнийг олж, ялгаварыг ол.
Арифметик прогрессийн дөрөв буюу зургаа дахь гишүүний нийлбэр 14. Прогрессийн эхний 9 гишүүний нийлбэрийг ол.
Хэрэв гурав дахь, долоо дахь, арван дөрөв дэхь болон арван найм дахь гишүүний нийлбэр 10 бол арифметик прогрессийн эхний хорин гишүүний нийлбэрийг ол.
Буурах арифметик прогрессийн хоёр, гурав, дөрөв дүгээр гишүүдийн нийлбэр нь тус прогрессийн квадратын ялгавараас 3 дахин их. Гурав болон зургаа дахь гишүүний нийлбэр нь 2. Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Хэрэв долоо, гуравдугаар гишүүний ялгавар нь 8-тай тэнцүү, хоёр дахь ба долоо дугаар гишүүний үржвэр 75-тай тэнцүү. Энэхүү прогрессийн гишүүд эерэг гэж үзвэл арифметик прогрессийн эхний есөн гишүүний нийлбэрийг ол.
Арифметик прогрессийн $a_9$ гишүүн нь $a_3$ гишүүнээс 3 дахин их, харин $a_7$-г $a_3$-т хуваахад 2 ноогдож 1 үлдэгдэнэ. Прогрессийн эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.
3-т хуваагдах бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.
11-т хуваахад 9 үлдэх бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.
Биет уналтын эхний секундэд 4.9 м, харин дараагийн секунд бүрт өмнөхөөс 9.8 м-ээр илүү зам туулжээ гэж үзвэл биет нь 4410 м-ийн өндрөөс ямар хугацаанд унах вэ?
Арифметик прогресс нь 20 гишүүнтэй. Үүний тэгш гишүүдийн нийлбэр нь 250, харин тэгш бус нь 220. Прогрессийн 10 дахь гишүүнийг ол.
Арифметик прогрессийн 3 ба 7 дугаар гишүүдийн нийлбэр нь 24-тэй тэнцүү, харин тэдгээрийн үржвэр нь 128-тай тэнцүү бол прогрессийн ялгаварыг ол.
$\dfrac{x-1}{x^{2}} + \dfrac{x-2}{x^{2}} + \dfrac{x-3}{x^{2}} + \cdots + \dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{7}{15}$ тэгшитгэлийн натурал шийдийг ол.
$\alpha$-ийн ямар утганд дараах тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох вэ? $2\cos\dfrac{\pi}{6}$, $4\sin\alpha$, $6\sin(\pi-\alpha)$.
$\sin x$, $\sin 2x$, $\sin 3x$ тоонууд энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэх $x$-г ол.
$a$-гийн тодорхой утганд $x^{3}-6x^{2} + 3x + a=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх бол уг прогрессийг ол.
2 арифметик прогрессийн давхцаж буй эхний 50 гишүүний нийлбэрийг ол. 2; 7; 12; $\ldots$ ба 3; 10; 17; $\ldots$
$ABC$ гурвалжны $AB$, $BC$, $AC$ талууд энэ дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэнэ. $ABC$ гурвалжны ба $A$ оройгоос $BC$ тал руу буулгасан өндөрийг багтсан тойргийн радиуст харьцуулсан харьцааг ол.
$y\in\mathbb R$-ийн ямар утганд дараах тоонууд өгөгдсөн дарааллаараа арифметик прогресс үүсгэх вэ? $\sqrt{y^{2} + 2y + 1}$, $\dfrac{y^{2} + 3y-1}{3}$, $y-1$.
$x$-ээс үл хамааран эхний $x$ гишүүдийн нийлбэр нь дараагийн $kx$ гишүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх арифметик прогрессийг ол.
$a$ параметрийн ямар утганд дараах тэгшитгэлийн $4$ шийд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох вэ? $x^{4} + \left( {a-3} \right)x^{2} + \left( {a + 10} \right)^{2}=0$
$\cos\big((8a-3)x\big)=\cos\big((14a+5)x\big)$ байх cөрөг биш $x$-ийн бүх ялгаатай утгууд нь өсөх эрэмбээрээ арифметик прогрессийг үүсгэх $a$-гийн боломжит бүх утгыг ол.
Эхний хэдэн гишүүдийн нийлбэр нь $2744$ байх бүхэл гишүүдтэй $7$ ялгавартай бүх арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг ол.
Арифметик прогрессийн хувьд:
- $a_1=-1, d=3 $ бол $a_{21}, a_{100}$-г ол.
- $a_{11}=7, a_{22}=40$ бол $a_1, d, a_{100}, a_n, S_{200}$-г ол.
- $a_1=1, S_{21}=126$ бол $a_{21}, d$-г ол.
- $a_1, d$ нь бүхэл арифметик прогрессын хувьд $a_5\cdot a_7-a_3^2=2$ бол $a_n$-г ол.
Арифметик прогрессын хувьд:
- $a_1=3$, $d=5$ бол $a_{10}$, $a_{11}$-ийг ол.
- $a_7=11$, $a_{12}=31$ бол $a_1$, $d$, $a_{100}$, $a_n$-ийг ол.
- $a_1=-2$, $S_{30}=225$ бол $a_{30}$, $d$-г ол.
- $a_1+a_3+a_5=-12$, $a_1\cdot a_3\cdot a_5=80$ бол $a_1$, $d$-г ол.
$2007$ гэсэн тоог дараалсан $18$ натурал тооны нийлбэрт задалж болдог бол тэдгээр тооны хамгийн ихийг ол.
A. $118$
B. $120$
C. $122$
D. $123$
E. Задрахгүй
Гурван оронтой бүх тэгш тооны цифрүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $6060$
B. $6065$
C. $6070$
D. $6075$
E. $6080$
11-т хуваахад 9 үлдэгдэл өгдөг бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.
A. 45279
B. 45387
C. 45398
D. 45376
E. 45350
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд $a_4+a_5=7$ бол эхний 8 гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 23
B. 18
C. 20
D. 28
E. 30
Арифметик прогрессын 7-р гишүүн 12 бол эхний 13 гишүүдийн нийлбэрийг ол.
A. олох боломжгүй
B. 144
C. 156
D. 169
E. 25
Арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр нь $S_n=n^2+n+1$ байв. 4 ба 5-р гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 10
B. 18
C. 28
D. 31
E. Ийм арифметик прогресс байж болохгүй.
3-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.
A. $165150$
B. $330300$
C. $495450$
D. $165450$
E. $330330$
Жилийн өмнө ах дүү гурвын нас нийлбэр нь 12-той тэнцүү, арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Ноднин шинээр төрсөн дүүг нь оролцуулбал ах дүүсийн нас мөн л арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байгаа бол том ах нь энэ жил хэдэн настай вэ? Хүүхдүүдийн нас бүхэл тоо бөгөөд шинэ жилээр нас нэмнэ гэж тооц.
A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$
E. $7$
Арифметик прогрессийн 50-р гишүүн 17, 60-р гишүүн 19-тэй тэнцүү бол 2015 дугаар гишүүнийг ол.
A. 410
B. 411
C. 412
D. 413
E. 414
5-д хуваахад 1 үлдэгдэл өгдөг 4 оронтой тоо нийт хэчнээн ширхэг байх вэ?
A. 1900
B. 1899
C. 1901
D. 1799
E. 1800
$a_1=10$, $d=3$ арифметик прогрессийн эхний 10 сондгой дугаартай гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 360
B. 370
C. 380
D. 235
E. 240
$a_{100}=-201$, $a_{900}=-1801$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $-2n+1$
B. $2n-3$
C. $-2n-1$
D. $-(2n-3)$
E. $2n-1$
6 ба 19 хоёрын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх гурван тоог ол.
A. $9,12,15$
B. $\frac{37}4,\frac{50}4,\frac{63}4$
C. $-\frac{37}4,-\frac{50}4,-\frac{63}4$
D. $\frac{37}4,\frac{51}4,\frac{62}3$
E. $8,11,15$
Эхний гишүүн нь 4 ба сүүлчийн гишүүн нь 60 байх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 1280 бол түүний гишүүдийн тоо аль нь вэ?
A. $32$
B. $36$
C. $38$
D. $40$
E. $42$
$n$-р гишүүн нь $a_n=\dfrac{2n-1}4$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $-\frac12$
B. $\frac14$
C. $\frac12$
D. $-\frac14$
E. $2$
$n$-р гишүүн нь $a_n=\dfrac{3n+1}5$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $\dfrac25$
B. $-\dfrac25$
C. $-\dfrac35$
D. $\dfrac35$
E. $\dfrac15$
$a_8=17$ ба $a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $-2$
E. $\dfrac{8}{5}$
$a_7=12$ ба $a_{12}=27$ бол арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$
$a_8=17$ ба $a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?
A. $2n-1$
B. $2n+1$
C. $2n+3$
D. $2n-3$
E. $n+9$
$a_7=12$ ба $a_{12}=27$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль нь вэ?
A. $3n-7$
B. $3n-9$
C. $3n+7$
D. $3n-5$
E. $3n-1$
$a_8=17$ ба $a_{12}=25$ байх арифметик прогрессийн 1-р гишүүн аль нь вэ?
A. $1$
B. $3$
C. $5$
D. $-1$
$a_7=12$ ба $a_{12}=27$ байх арифметик прогрессийн 1-р гишүүн аль нь вэ?
A. $-4$
B. $-6$
C. $10$
D. $-2$
$a_{100}=-201$, $a_{900}=-1801$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $-2n+1$
B. $2n-3$
C. $-2n-1$
D. $-(2n-3)$
E. $2n+1$
$a_{201}=-3$, $a_{1002}=2400$ байх арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $3n+606$
B. $3n-600$
C. $3n-606$
D. $3n+600$
6 ба 19 хоёрын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх гурван тоог ол.
A. $9,12,15$
B. $\frac{37}4,\frac{50}4,\frac{63}4$
C. $-\frac{37}4,-\frac{50}4,-\frac{63}4$
D. $\frac{37}4,\frac{51}4,\frac{62}3$
4 ба 15-ын хооронд орших ба эдгээртэй хамт 6 гишүүнтэй арифметик прогресс үүсгэх дөрвөн тоог ол.
A. $6,8,10,13$
B. $6,8,11,13$
C. $7,9,11,13$
D. $6.4,9.8,11.2,13.6$
E. $6.2,8.4,10.6,12.8$
Эхний гишүүн нь 4 ба сүүлчийн гишүүн нь 60 байх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр 1280 бол түүний гишүүдийн тоо аль нь вэ?
A. $32$
B. $36$
C. $38$
D. $40$
E. $42$
Сүүлчийн $48$-р гишүүн нь $60$, бүх гишүүдийн нийлбэр нь $192$ байх арифметик прогрессийн эхний гишүүн аль нь вэ?
A. $-40$
B. $-44$
C. $-48$
D. $-52$
E. $-56$
Эхний гишүүн нь $-2$ ба эхний 40 гишүүний нийлбэр 1240 байх арифметик прогрессийн 40-р гишүүн нь аль вэ?
A. $60$
B. $62$
C. $64$
D. $66$
Эхний гишүүн нь $-2$ ба эхний 40 гишүүний нийлбэр 1480 байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $-2$
Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүн $a_n=4n+3$ томьёогоор өгөгдсөн бол түүний эхний 100 гишүүний нийлбэр аль вэ?
A. $20000$
B. $20500$
C. $10250$
D. $20150$
Өсөх арифметик прогрессийн хувьд $S_{20}=230$, $S_{45}-S_{20}=850$ бол $S_{80}$ аль вэ?
A. $3200$
B. $3320$
C. $3040$
D. $3220$
Арифметик прогрессийн хувьд $a_8-a_6=16$, $a_3+a_4=60$ бол түүний ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $8n-16$
B. $8n+10$
C. $8(n-1)+10$
D. $8(n-1)-16$
Арифметик прогрессийн хувьд $a_1+a_2+a_3=18$, $a_4-a_1=6$ бол түүний $n$-р гишүүний томьёо аль вэ?
A. $2(n+1)$
B. $2n+1$
C. $2(n-1)$
D. $2n$
E. $2n-1$
Арифметик прогрессийн $S_6=18$, $d=-2$ бол $a_1+a_5$-ийг ол.
A. $0$
B. $-8$
C. $16$
D. $8$
Арифметик прогрессийн хувьд $a_2=-6$, $a_5=48$ бол $S_{10}$-ийг ол.
A. $570$
B. $600$
C. $602$
D. $640$
Арифметик прогрессийн хувьд $a_3=12$, $a_8=52$ бол $S_n$-ийг ол.
A. $4n(n-2)$
B. $4n(n-1)$
C. $4n(n+1)$
D. $4n(n+2)$
Арифметик прогрессийн $S_n=4n(n-2)$ бол $a_n$-ийг ол.
A. $12-6n$
B. $12+6n$
C. $12-8n$
D. $8n-12$
E. $8n-8$
$\dfrac1{\log_34}$, $\dfrac1{\log_64}$ ба $\dfrac1{\log_x4}$ тоонууд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн бол $x$-ийг ол.
A. $18$
B. $15$
C. $12$
D. $9$
$1+\sin x$, $\sin^2x$, $1+\sin3x$ функцийн утгууд $[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд өсөх арифметик прогресс үүсгэх вэ?
A. $\frac{\pi}2$
B. $\pi$
C. $-\frac{\pi}6$
D. $-\frac{\pi}2$
$1+\cos x$, $\cos^2x$, $1-\cos3x$ функцийн утгууд $[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд буурах арифметик прогресс үүсгэх вэ?
A. $\pi$
B. $-\pi$
C. $\frac{\pi}2$
D. $\frac{2\pi}3$
Аль тооны хувьд $\lg x$, $\lg(x+6)$, $\lg(2x+7)$-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $8$
B. $10$
C. $9$
D. $5$
Аль тооны хувьд $\lg(x+2)$, $\lg(x+4)$, $\lg(2x+5)$-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $1$
B. $3$
C. $4$
D. $2$
Аль тооны хувьд $\sqrt{14x+4}$, $\sqrt{10x}$, $\sqrt{6x+4}$-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байх вэ?
A. $9$
B. $10$
C. $0$
D. $8$
Аль тооны хувьд $\sqrt{2x+9}$, $\sqrt{5x}$, $\sqrt{8x+9}$-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байх вэ?
A. $10$
B. $15$
C. $20$
D. $25$
$[0; 2\pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд $\sin x$, $\sin2x$, $\sin3x$ функцийн утга өсөх арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?
A. $\frac{\pi}3$
B. $-\frac{\pi}3$
C. $\frac{3\pi}2$
D. $\frac{2\pi}3$
$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд $\cos\alpha$, $\cos2\alpha$, $\cos3\alpha$ функцийн утга өсөх арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?
A. $\frac{\pi}3$
B. $-\frac{\pi}3$
C. $\frac{3\pi}4$
D. $\pi$
Өсөх арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр 3, эхний гишүүний квадрат нь гуравдугаар гишүүнтэйгээ тэнцүү бол түүний 100-р гишүүн нь хэд вэ?
A. $200$
B. $180$
C. $295$
D. $305$
Эерэг гишүүнтэй өсдөг арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр 12, эхний гишүүний квадрат нь дөрөв ба хоёрдугаар гишүүдийн ялгавартай тэнцүү бол түүний эхний 50 гишүүний нийлбэр хэд вэ?
A. $2000$
B. $2500$
C. $2550$
D. $2225$
E. $2525$
$1,\sqrt2,4$ тоонууд ямар нэг арифметик прогрессийн гишүүн болох уу?
A. болно
B. болохгүй
C. болно $d=\sqrt2, a_1=1$
D. болно $d=\sqrt2-1, a_1=1$
$-2,3,8,13,\dots,1018$ ба $-3,1,5,9,\dots,993$ хоёр арифметик прогрессийн хэчнээн гишүүд нь тэнцүү байх вэ?
A. $47$
B. $48$
C. $49$
D. $50$
$2,5,8,11,\dots,1001$ ба $-1,3,7,11,\dots,1331$ хоёр арифметик прогрессийн тэнцүү гишүүдийн хамгийн их дугаар аль вэ?
A. 231, 251
B. 330, 250
C. 332, 251
D. 332, 250
$S_n=2+4+6+\dots+2n$ нийлбэрийг ол.
A. $n(n-1)$
B. $n(n+1)$
C. $\frac{n(n-1)}2$
D. $\frac{n(n+1)}2$
$S_n=1+3+5+\dots+(2n-1)$ нийлбэрийг ол.
A. $(n-1)^2$
B. $(n+1)^2$
C. $n^2$
D. $n(n+1)$
$S_n=2+5+8+11+\dots+(3n-1)$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac{n(3n-1)}2$
B. $\frac{3n(n+1)}2$
C. $\frac{n(3n+1)}2$
D. $\frac{3n(n-1)}2$
$S_n=1+4+7+10+\dots+(3n-2)$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac{n(3n+1)}2$
B. $\frac{n(3n-1)}2$
C. $\frac{3n(n+1)}2$
D. $\frac{3n(n-1)}2$
5-д хуваахад 4 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?
A. 200
B. 90
C. 900
D. 180
E. 500
$\sqrt{x+4}$, $\sqrt{5x}$, $\sqrt{9x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
A. $-3$
B. $5$
C. $3$
D. $1$
E. $2$
$a_7=24$, $a_{12}=54$ байх арифметик прогрессийн ялгавар хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $4$
B. $6$
C. $8$
D. $1.5$
E. $5$
5-д хуваахад 1 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?
A. 200
B. 90
C. 900
D. 180
E. 500
$\sqrt{2x+4}$, $\sqrt{6x}$, $\sqrt{10x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
A. $6$
B. $-3$
C. $3$
D. $1$
E. $2$
Арифметик прогресс үүсгэх гурван тооны нийлбэр 189. Хэрвээ I гишүүн III гишүүнээс 2 дахин их бол эдгээр тоонуудын багыг нь ол.
A. 42
B. 84
C. 21
D. 41
E. 85
Арифметик прогрессийн эхний гишүүн нь $(-27)$, ялгавар нь 5 бол эхний $n$ гишүүний нийлбэрийн хамгийн бага утгыг ол.
A. $-84$
B. $-89$
C. $-88$
D. $-87$
E. $-85$
5-д хуваахад 2 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?
A. 200
B. 90
C. 900
D. 180
E. 500
$\sqrt{3x+4}$, $\sqrt{7x}$, $\sqrt{11x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
A. $7$
B. $-3$
C. $3$
D. $1$
E. $2$
5-д хуваахад 3 үлддэг 3 оронтой тоо хэд вэ?
A. 200
B. 90
C. 900
D. 180
E. 500
$\sqrt{5x+4}$, $\sqrt{9x}$, $\sqrt{13x+4}$ гэсэн 3 тоо арифметик прогрессын дараалсан гурван гишүүн бол уг арифметик прогрессын ялгаврыг ол.
A. $-3$
B. $9$
C. $3$
D. $1$
E. $2$
Арифметик прогрессийн $a_1=1$, $a_6=21$ бол эхний таван гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 17
B. 45
C. 66
D. 58
E. 22
Арифметик прогрессийн $a_4=1.5$, $a_5=4$ бол $\sum\limits_{n=6}^{14}a_n$ нийлбэрийг ол.
A. $142$
B. $148.5$
C. $162$
D. $178.5$
E. $143.5$
7 одой эхний өдөр 1 ширхэг эрдэнийн чулуу, хоёр дахь өдөр 2 ширхэг эрдэнийн чулуу гэх мэтчилэн хэсэг хугацаанд эрдэнийн чулуу олборлосны эцэст нийт 2016 ширхэг эрдэнийн чулуутай болжээ. Нийт хэдэн өдөр ажилласан бэ?
A. $10$
B. $30$
C. $63$
D. $96$
E. $100$
Арифметик прогрессийн $a_5=8$ бол эхний 9 гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 45
B. 50
C. 72
D. 80
E. 90
Хэрвээ гүдгэр 4 өнцөгтийн хамгийн бага өнцөг нь $18^\circ$, бага өнцгөөс нь эхлэн өнцгүүдийг цагийн зүүний дагуу жагсаан бичихэд арифметик прогрессийн гишүүд болж байсан бол бага өнцгийн эсрэг орших өнцгийг ол.
A. $90^\circ$
B. $126^\circ$
C. $152^\circ$
D. $114^\circ$
E. $162^\circ$
$x^3-3x^2-6x+a=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хамгийн их шийдийг ол.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
$x^3+6x^2+5x+c=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогресс үүсгэх бол $c$ аль нь вэ?
A. $3$
B. $6$
C. $-6$
D. $5$
E. $4$
3 ба 4-ийн ядаж нэгд нь хуваагддаг 3 оронтой тоонуудын нийлбэрийг ол.
A. 239050
B. 240750
C. 247050
D. 288450
E. 300000
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн $a_3=2$, $a_{15}=23$ бол $a_9=?$
A. $12.5$
B. $10.5$
C. $25$
D. $15.5$
E. $14.25$
$x^3-6x^2+3x+a=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болж байв. Хамгийн их шийдийг ол.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Арифметик прогрессийн 1-р гишүүн $\dfrac{a}{3}$, 3-р гишүүн $\dfrac{a}{2}$ бол 9-р гишүүн аль нь вэ?
A. $\dfrac{a}{12}$
B. $\dfrac{3a}{4}$
C. $\dfrac{2a}{3}$
D. $\dfrac{3a}{2}$
E. $a$
Арифметик прогрессийн 9-р гишүүн 2 бол эхний 17 гишүүний нийлбэрийг ол.
A. $34$
B. $9\cdot 17$
C. $18$
D. $0$
E. олох боломжгүй
$d$ ялгавартай арифметик прогресийн $a_2=7$, $a_7=2$ бол $a_1-d$-г ол.
A. $7$
B. $8$
C. $9$
D. $10$
E. $11$
Аль тооны хувьд $\lg(x+2)$, $\lg(x+4)$, $\lg(2x+5)$-ийн утга арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $3$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$
Эхний гишүүн нь $a_1=-\dfrac12$ ба $\dfrac{3}{2}$ тоо гишүүн нь болдог арифметик прогресс өгөгдөв. Хэрвээ $a_n=5$ бол $n$-ийн хамгийн бага утга аль нь вэ?
A. $11$
B. $12$
C. $13$
D. $14$
E. $15$
Арифметик прогрессийн $a_4=1$ ба $a_{12}=33$ бол $a_6=?$
A. $3$
B. $4$
C. $6$
D. $8$
E. $9$
$d$ ялгавартай арифметик прогресийн $a_2=9$, $a_9=2$ бол $a_1-d$-г ол.
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
Арифметик прогрессийн $a_5=5$ бол $S_9=?$
A. $48$
B. $225$
C. $54$
D. $115$
E. $45$
Арифметик прогрессийн $a_{11}=11$ бол $S_{21}=?$
A. $243$
B. $225$
C. $221$
D. $231$
E. $271$
Арифметик прогрессийн $a_7=7$ бол $S_{13}=?$
A. $84$
B. $91$
C. $98$
D. $104$
E. $108$
Арифметик прогрессийн $a_9=9$ бол $S_{17}=?$
A. $163$
B. $153$
C. $157$
D. $158$
E. $168$
Арифметик прогрессийн $a_7=7$ бол $S_{13}=?$
A. $84$
B. $91$
C. $98$
D. $104$
E. $108$
Арифметик прогрессийн 52-р гишүүн 17, 62-р гишүүн 19-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.
A. $410$
B. $411$
C. $412$
D. $413$
E. $414$
Арифметик прогрессийн 32-р гишүүн 13, 67-р гишүүн 20-тэй тэнцүү бол 2017 дугаар гишүүнийг ол.
A. $406$
B. $407$
C. $408$
D. $409$
E. $410$
11-т хуваахад 5 үлдэгдэл өгдөг бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол.
A. 45059
B. 45187
C. 45298
D. 45476
E. 45050
Дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n=3n^2+3n$ томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол $q$-г ол. Арифметик прогресс бол $d$-г ол.
A. $d=4$
B. $q=4$
C. $d=6$
D. $q=3$
E. $q=2$
Арифметик прогрессийн 21-р гишүүн 20, 2017-р гишүүн нь 1018 бол ялгавар нь аль тоо вэ?
A. $d=0.35$
B. $d=0.40$
C. $d=0.45$
D. $d=0.50$
E. $d=0.55$
Арифметик прогрессийн 37-р гишүүн 80, 2017-р гишүүн нь 773 бол ялгавар нь аль тоо вэ?
A. $d=0.35$
B. $d=0.40$
C. $d=0.45$
D. $d=0.50$
E. $d=0.55$
Дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n=3n^2+n$ томьёогоор өгөгджээ. Хэрэв энэ дараалал геометр прогресс бол $q$-г ол. Арифметик прогресс бол $d$-г ол.
A. $d=4$
B. $q=6$
C. $d=6$
D. $q=4$
E. $q=2$
$n$-р гишүүн нь $a_n=\dfrac{2n-1}4$ томьёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $-\frac12$
B. $\frac14$
C. $\frac12$
D. $-\frac14$
E. $2$
Цаасыг 4 хэсэг болгон хуваав. Дараа нь аль нэг хэсгийг нь авч 4 хэсэг болгон хуваав. Үүссэн хэсгүүдийн аль нэгийг нь авч 4 хэсэг болгон хуваах үйлдлийг үргэлжлүүлэн 14 удаа хийхэд цаас нийт хэдэн хэсэг болох вэ?
A. 40
B. 43
C. 52
D. 39
E. 14
$\{a_n\}$ арифметик прогрессийн хувьд $a_4+a_5=7$ бол эхний 8 гишүүний нийлбэрийг ол.
A. 23
B. 18
C. 20
D. 28
E. 30
Арифметик прогрессын 5-р гишүүн 16 бол эхний 9 гишүүдийн нийлбэрийг ол.
A. олох боломжгүй
B. 144
C. 156
D. 169
E. 25
$a_7=14$ ба $a_{12}=29$ байх арифметик прогрессийн ялгавар аль вэ?
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $-2$
E. $\dfrac{8}{5}$
Дугуйг өнцгүүд нь арифметик прогресс үүсгэдэг байхаар дөрвөн секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн том секторын өнцөг нь хамгийн бага секторын өнцгөөс 4 дахин их бол хамгийн том секторын өнцгийг ол.
A. $108^\circ$
B. $36^\circ$
C. $72^\circ$
D. $180^\circ$
E. $144^\circ$
$a_{n+1}=a_n-3$ дарааллын $a_1=100$ бол $a_{21}=?$
A. $40$
B. $37$
C. $43$
D. $63$
E. $60$
4-т хуваагддаг бүх 3 оронтой тооны нийлбэрийг ол.
A. $123000$
B. $120300$
C. $485450$
D. $123300$
E. $246600$
Дугуйг өнцгүүд нь арифметик прогресс үүсгэдэг байхаар таван секторт хуваажээ. Хэрэв хамгийн том секторын өнцөг нь хамгийн бага секторын өнцгөөс 5 дахин их бол хамгийн том секторын өнцгийг ол.
A. $24^\circ$
B. $120^\circ$
C. $72^\circ$
D. $180^\circ$
E. $96^\circ$
Эхний гишүүн $a_1=1$, ялгавар $d=4$ байх арифметик прогресс $\{a_n\}$ ба $a_0=2$ тооны хувьд $$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$$
дараалал зохиовол $b_n=\fbox{a}n^2-n+\fbox{b}$ (4 оноо) болох ба $155$ түүний $\fbox{c}$ дугаар гишүүн байна.
Эхний гишүүн нь $50$, ялгавар нь $-5$ байдаг
арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$ гэж
тэмдэглэе. $S_n$ нийлбэрийн хамгийн их утга нь $\fbox{abc}$ байна.
Эхний гишүүн нь $-40$, ялгавар нь $3$ байдаг
арифметик прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$ гэж
тэмдэглэе. $S_n$ нийлбэрийн хамгийн бага утга нь $\fbox{abcd}$
байна.
Арифметик прогресс үүсгэх $p,q,r$ гурван тооны
нийлбэр 27 бол $q=\fbox{a}$ байна. Тэдгээрийн үржвэр 693 бол
$p=\fbox{b},$ $r=\fbox{cd}$ болно.
Арифметик прогресс үүсгэх $p,q,r$ гурван тооны
нийлбэр $15$ бол $q=\fbox{a}$ байна. Тэдгээрийн үржвэр $-120$ бол
$p=-\fbox{b},$ $r=\fbox{cd}$ болно.
Арифметик прогресс үүсгэх $p-d,p,p+d$ гэсэн
гурван тооны нийлбэр 15, квадратуудын нийлбэр нь 83 бол
$p=\fbox{a},$ $d=\fbox{b}$ эсвэл $d=\fbox{cd}$ болно.
Арифметик прогресс үүсгэх $p-d,p,p+d$ гэсэн
гурван тооны нийлбэр 24, квадратуудын нийлбэр нь 242 бол
$p=\fbox{a},$ $d=\fbox{b}$ эсвэл $d=\fbox{cd}$ болно.
$a_1$, $d$ бүхэл тоонууд харгалзан арифметик
прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар байг. $a_3+a_5+a_7=93$ ба
$a_n>100$ байх хамгийн бага $n$ нь 15 бол $a_1=\fbox{a}$ ба
$d=\fbox{b}$ байна.
$a_1$, $d$ бүхэл тоонууд харгалзан арифметик
прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар байг. $a_1+a_3+a_5=15$ ба
$a_n>50$ байх хамгийн бага $n$ нь 15 бол $a_1=\fbox{ab}$ ба
$d=\fbox{c}$ байна.
Тэгээс ялгаатай $p,q, r$ тоонууд арифметик
прогресс үүсгэнэ. $q, p, r$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг
бол энэ геометр прогрессийн хуваарь нь $\fbox{ab}$ эсвэл
$\fbox{c}$ байна.
$8,p,q$ тоонууд арифметик прогресс, харин
$p,q,36$ тоонууд геометр прогресс үүсгэдэг бол $p,q$
тоонууд $\fbox{a},\fbox{bc}$ эсвэл $\fbox{de},\fbox{f}4$
байна.
Тэгээс ялгаатай $a,b,c$ тоонууд арифметик прогрессийн
дараалсан 3 гишүүн болох ба $-3a, c, 2b$ мөн арифметик
прогресс үүсгэнэ. Тэгвэл
$$a:b:c= \fbox{ab} :1:\fbox{c}$$
байна.
Тэгээс ялгаатай $a,b,c$ тоонууд арифметик
прогрессийн дараалсан 3 гишүүн болох ба $b, 2a, 3c$ мөн
арифметик прогресс үүсгэх бол
$$a:b:c=10: \fbox{a} :\fbox{b}$$
байна.
$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ арифметик прогрессийн 3-р
гишүүн нь 2, 8-р гишүүн нь $\dfrac{9}{2}$ бол
$$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n+\fbox{b}}$$
байна.
$\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ арифметик
прогрессийн 4-р гишүүн нь 2, 9-р гишүүн нь $\dfrac{11}{3}$ бол
$$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n+\fbox{b}}$$
байна.
1-ээс 100-гийн хооронд орших
- 3-т хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
- 3-т хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
- 3-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghij}$ байна.
1-ээс 150-ийн хооронд орших
- 7-т хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
- 7-т хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
- 7-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghij}$ байна.
Эхний гишүүн ба ялгавар нь бүхэл тоо байх $\{a_n\}$
арифметик прогрессийн хувьд $8\leq a_2\leq 10,$
$14\leq a_4\leq 16,$ $19\leq a_5\leq 21$
тэнцэтгэл бишүүд биелэх бол $n$-р гишүүн нь
$$a_n=\fbox{a} \cdot n \text{ эсвэл } a_n=\fbox{b} \cdot
n+ \fbox{c}$$
томьёогоор тодорхойлогдоно.
Эхний гишүүн ба ялгавар нь бүхэл тоо байх $\{a_n\}$
арифметик прогрессийн хувьд $8\leq a_3\leq 13,$ $16\leq a_5\leq 17,$ $19\leq a_7\leq 22$
тэнцэтгэлбишүүд биелэх бол $n$-р гишүүн нь
$$a_n=\fbox{a} \cdot n+\fbox{b}$$
эсвэл
$$a_n=\fbox{c} \cdot n+ \fbox{d}\mbox{ эсвэл }a_n=\fbox{c} \cdot n+\fbox{e},\mbox{ энд } (\fbox{d}< \fbox{e})$$ томьёогоор тодорхойлогдоно.
$-5, a_1, a_2, \dots, a_m,10,
b_1,b_2,\dots ,b_n, 15$ гэсэн арифметик прогрессийн
гишүүдийн нийлбэр 325 бол $n=\fbox{ab}$ ба прогрессийн $m+n$
дугаар гишүүн нь $\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{fg}}$ байна.
$-3, a_1, a_2, \dots, a_m,7,
b_1,b_2,\dots ,b_n, 22$ гэсэн арифметик прогрессийн
гишүүдийн нийлбэр $\dfrac{779}{2}$ бол $m=\fbox{ab}$ ба
прогрессийн $m+n-4$ дугаар гишүүн нь
$\dfrac{\fbox{cde}}{\fbox{f}}$ байна.
Эхний гишүүн нь $2$ ба $6$, ялгавар нь харгалзан 3
ба 5 байх хоёр арифметик прогрессийг харгалзан $\{a_n\}$,
$\{b_m\}$ гэж тэмдэглэе. Эдгээрт хоёуланд нь харьяалагдах ерөнхий
гишүүдээр $\{c_k\}$ гэсэн шинэ арифметик прогресс байгуулья.
$a_n=b_m$ байх натурал $n$, $m$-үүд нь
$\fbox{a}n=\fbox{b}m+\fbox{c}$ тэгшитгэлийг хангах ба
$$n=\fbox{d}k-\fbox{e}, k=1,2,3,\dots$$
гэсэн шийдтэй. Эндээс
$$c_k=\fbox{fg}+\fbox{hi}\cdot(k-1), k=1,2,3,\dots.$$
Эхний гишүүн нь $1$ ба $11$, ялгавар нь харгалзан
3 ба 10 байх хоёр арифметик прогрессийг харгалзан $\{a_n\}$,
$\{b_m\}$ гэж тэмдэглэе. Эдгээрт хоёуланд нь харьяалагдах ерөнхий
гишүүдээр $\{c_k\}$ гэсэн шинэ арифметик прогресс байгуулья.
$a_n=b_m$ байх натурал $n$, $m$-үүд нь
$\fbox{a}n-\fbox{b}=\fbox{cd}m$ тэгшитгэлийг хангах ба
$$n=\fbox{ef}k+\fbox{g}, k=1,2,3,\dots$$
гэсэн шийдтэй. Эндээс
$$c_k=\fbox{hi}+\fbox{jk}\cdot(k-1), k=1,2,3,\dots.$$
$f(x)=x^3-9x^2+25x-21$ олон гишүүнтийн язгуурууд нь $x_1,x_2,x_3 (x_1< x_2< x_3)$ бол
- $x_1+x_2+x_3=\fbox{a}$ (1 оноо).
- $x_1, x_2, x_3$ арифметик прогресс үүсгэх бол $x_2=\fbox{b}$ (1 оноо).
- Уул прогрессийн ялгавар $\sqrt{c}$ (2 оноо).
- $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}=\sqrt{d}+\sqrt{\fbox{e}+2\sqrt{\fbox{f}}}$ (2 оноо).
Эхний $n$ гишүүний нийлбэр нь $S_n=2n^2+3n$ байх арифметик прогрессийн $n$ дүгээр гишүүн нь $a_n=\fbox{a}n+\fbox{b}$ ба ялгавар нь $d=\fbox{c}$ байна. Мөн $a_{11}+a_{12}+\dots+a_{15}=\fbox{def}$ байна.
1-ээс 500-гийн хооронд орших
- 15-д хуваагдах тоо $\fbox{ab}$ ширхэг байна.
- 15-д хуваагдах тоонуудын нийлбэр $\fbox{cdef}$ байна.
- 15-д хуваагддаггүй тоонуудын нийлбэр $\fbox{ghijkl}$ (1 ба 500-г оруулаад) байна.
$x^3-6x^2+3x+p=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1\le x_2\le x_3$ гэсэн арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болох тоонууд бол $x_1=-\fbox{a}$, $x_2=\fbox{b}$, $x_3=\fbox{c}$ байна.
Арифметик прогрессийн нийлбэр
Бином цуваа
$(1+x)^{\frac12}$ бином цувааны $x^3$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $1$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $-\dfrac{1}{8}$
D. $\dfrac{1}{16}$
E. $-\dfrac{1}{24}$
$\dfrac{1}{(1-ax)^3}$ задаргааны $x^3$-ийн өмнөх коэффициент $2160$ бол $a=?$
A. $3$
B. $6$
C. $7$
D. $5$
E. $4$
$(1+2x)^{-4}$ задаргааны $x^2$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $30$
B. $40$
C. $20$
D. $24$
E. $36$
$(1+x)^{-3}$ задаргааны $x^3$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $-3$
B. $3$
C. $-10$
D. $10$
E. $-20$
$(1+x)^{\frac13}$ бином цувааны $x^2$-ийн өмнөх коэффициентийг ол.
A. $1$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{9}$
D. $-\dfrac{1}{9}$
E. $-\dfrac{1}{4}$
$(1-2x)^{\frac12}$ илэрхийллийн задаргааг ашиглан $\sqrt{35}$ тоог ойролцоогоор олъё.
$$(1-2x)^{\frac12}=1-x-\dfrac1{\fbox{a}}x^2-\dfrac{1}{\fbox{b}}x^3-\cdots$$
$x=\dfrac{1}{72}$ гэвэл $2x=\dfrac{1}{36}$ тул
$$\dfrac{\sqrt{35}}{6}=\left(1-\dfrac{1}{36}\right)^{\frac12}\approx1-\dfrac{1}{72}-\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot\dfrac{1}{72^2}-\dfrac{1}{\fbox{b}}\cdot\dfrac{1}{72^3}$$
буюу $\sqrt{35}\approx\fbox{c.def}$ байна.
Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо
$S_n$ --- геометр прогрессийн эхний n гишүүдийн нийлбэр. Хэрэв дурын $n$-ийн хувьд $\log_3\Big(\dfrac{S_n}2+1\Big)=n$ гэсэн нөхцөл биелэх бол прогрессийн хуваарийг ол.
Геометр прогрессийн эхний S гишүүний нийлбэр түүний эхний гурван гишүүний нийлбэрээс 3/2-оор их. Прогрессийн S дахь гишүүн нь түүний гурав дахь гишүүнийг 4-өөр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Түүний хуваарь эерэг гэдэг нь мэдэгдэж байгаа бол прогрессийн 4 дэхь гишүүнийг ол.
Геометр прогрессийн 1 ба 5 дугаар гишүүдийн үржвэр нь 12. Хоёр дугаар гишүүнийг дөрөв дүгээр гишүүнд хуваахад 3 гарна. Прогрессийн хоёр дугаар гишүүнийг ол.
Нийлбэр нь 21-тэй тэнцүү байх геометр прогрессийг үүсгэж буй 3 эерэг тоог тодорхойл.
Эхний гурван гишүүний нийлбэр 7-той тэнцүү, харин тэдгээрийн үржвэр нь 8-тай тэнцүү бол геометр прогрессийг ол.
Геометр прогрессийн эхний 3 гишүүний нийлбэр нь 12-той тэнцүү, харин эхний 6 гишүүний нийлбэр 84 бол прогрессийн 3 дахь гишүүнийг ол.
Геометр прогрессийн дөрөв дэхь гишүүнийг эхний гишүүнд хуваавал хүртвэр нь 64 болно. Прогрессийн гурав дахь гишүүн нь 8 бол прогрессийн эхний гишүүнийг ол.
Геометр прогрессийн тав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнийг хасахад гарах тоо гурав дугаар гишүүнээс нэг дүгээр гишүүнээс хасахад гарах тооноос 5 дахин илүү юм. Энэхүү геометр прогресс эерэг гишүүдтэй мөн өсдөг бол хуваарийг ол.
Геометр прогрессийн эхний гурван тооны нийлбэр нь 9, эхний 6 гишүүний нийлбэр 63 бол энэ прогрессийн эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.
Геометр прогрессийн нэг дэхь гишүүн нь 1-тэй тэнцүү, эхний 5 гишүүний нийлбэр нь энэ гишүүдийн эсрэг хэмжээний нийлбэрээс 8 дахин их бол түүний хуваарийг ол.
Геометр прогрессийн нэг болон тав дахь гишүүдийн нийлбэр 51. Хоёр буюу зургаа дахь гишүүдийн нийлбэр 102 бол энэ прогрессийн хэдэн гишүүнийг авахад нийлбэр нь 3069 байх вэ?
Геометр прогрессийн эхний гишүүн, түүний хоёр дахь гишүүний хоёрт үржүүлсэн болон гурав дахь гишүүнийг гуравт үржүүлсэн тоог нэмэхэд нийлбэр нь 2 гарна. Түүний эхний гишүүн, хуваарь болон хоёр дахь гишүүд нь арифметик прогрессийг үүсгэдэг. Геометр прогрессийн хуваарь болон эхний гишүүнийг нь ол.
7 ба 56 гэсэн тоонуудын дунд байрлуулахад тэдгээрийн хамт геометр прогрессийг үүсгэж байх хоёр тоог ол.
Геометр прогрессийн 18 ба 23 дахь гишүүдийн үржвэр нь 1.9-тй тэнцүү бол энэ прогрессийн 12 ба 29 дахь гишүүдийн үржвэрийг ол.
Геометр прогрессийн хуваарь нь 3 бөгөөд эхний болон 4 дэхь гишүүний нийлбэр нь -40 бол гурав дахь гишүүнийг ол.
Геометр прогрессийн эхний ба $5$ дахь гишүүдийн нийлбэр $51$, $2$ ба $6$ дахь гишүүдийн нийлбэр $102$ байв. Гишүүдийн нийлбэр нь $3069$ байхын тулд энэ прогрессийн хэчнээн гишүүнийг нь сонгон авах хэрэгтэй вэ?
Хэрэв $-1$, $x+2$, $\sin(\arcsin x)$ тоонууд энэ дарааллаараа геометр прогресс үүсгэх бол $x$-ийг ол.
Хэрвээ геометр прогрессийн $13$ дахь гишүүнээс эхлэн дараалсан $12$ гишүүнийх нь нийлбэр эхний $12$ гишүүний нийлбэрийн $40\%$-тай тэнцүү бол $3$ дахь гишүүнийг нь $15$ дахь гишүүнд харьцуулсан харьцааг ол.
Геометр прогресс үүсгэх $3$ тооны нийлбэр нь $62$ ба квадратуудынх нь нийлбэр $2604$ бол эдгээр тоонуудыг ол.
Геометр прогрессийн эхний гурван гишүүний нийлбэр $14$ ба тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр $84$ бол эхний гишүүнийг ол.
Хэрэв $a, b, c$ тоонууд геометр прогресийн дараалсан гишүүд бол дараах илэрхийллийг бод: $\dfrac{{\log _{b} 3\left( {\log _{a^{2}} c-\log _{c} \sqrt {a}} \right)}}{{\log _{a} 9-2\log _{c} 3}}$.
$1-\cos 2x$, $\cos x-\frac{1}{2}$, $frac{1}{2}\sin^{-2}x$ тоонууд нь харгалзан $k$, $k+1$, $k+2$ дугаартай геометр прогрессийн гишүүд ба энэ прогрессийн $15$ дахь гишүүн нь $27/8$ байх бүх $x$, $k$ тоонуудыг ол.
Дараах тэгшитгэлийн $3$ ялгаатай бодит шийд нь геометр прогресс үүсгэх бол тэгшитгэлийг бод: $x^{3}+3x^{2}-6x+a=0$.
Эхний гишүүн нь $1$ байх $2$ ялгаатай геометр прогресс өгөгдөв. Хувиаруудынх нь нийлбэр $-4$ ба $6$ дахь гишүүдийнx нийлбэр $-724$ бол $5$ дахь гишүүдийнх нь нийлбэрийг ол.
$a, b, c$ натурал тоонууд өгөгдсөн дарааллаараа геометр прогресс үүсгэх ба хувиар нь бүхэл тоо. $2240$ ба $4312$ гэсэн тоонууд харгалзан $b, c$-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Өгөгдсөн нөхцлийн хувьд $a+b+c$ илэрхийлэл хамгийн их утгандаа хүрэх $a, b, c$ тоонуудыг ол.
$a_n$-геометр прогрессын $a_1=a$ ногдвор $q$ бол:
- $a_4=10, a_{10}=40 $ бол $q, a_{31}$-г ол.
- $S_{10}=4, a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{40}=48$ бол $a_{31}+a_{32}+\cdots+a_{60}$-г ол.
$a_n$-геометр прогрессын ногдвор $q$ эхний гишүүн $a$ байг.
- $a=5, a_{13}=45$ бол $a_{7}, q$-ийг ол.
- $a_2=8, a_{8}=\dfrac 18$ бол $q, a, S_6$-г ол.
- $S_3=70, a_1\cdot a_2\cdot a_3=8000, q>1$ бол $q, a, a_n-$ыг ол.
- $S_3=21, \dfrac 1{a_3}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac 1{a_1}=\dfrac7{12}, q>0, a>0$ бол $q, a, a_n$-г ол.
$\{ b_n \}$ геометр прогрессийн хувьд $b_{10}=100 , b_{11}=1000$ бол $b_{18}=?$
A. $10^8$
B. $10^9$
C. $10^{10}$
D. $10^{11}$
E. $10^{12}$
Геометр прогрессийн хувьд $S_2=7$, $S_6=91$ бол $S_4$-ийг ол.
A. 32
B. 28
C. 29
D. 30
E. 31
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр 9, эхний гишүүн 3 бол 2 дахь гишүүн хэд вэ?
A. 2
B. 1
C. $\frac23$
D. 6
E. $\frac32$
Геометр прогресс үүсэх 4 тооны эхний хоёрынх нь нийлбэр 44, сүүлчийн хоёрынх нь нийлбэр нь 396 байв. Прогрессийн хуваарь эерэг тоо бол эхний гишүүнийг ол.
A. $11$
B. $-22$
C. $-11$
D. $22$
E. $-21$
Нийлбэр нь 78-тай тэнцүү гурван тоо өсөх геометр прогресс үүсгэж байв. Тэдгээр нь мөн арифметик прогрессийн нэг, гурав, ес дэх гишүүд болж байв. Эдгээр тоонуудын хамгийн ихийг ол.
A. 54
B. 6
C. 60
D. 49
E. 64
$\lim\limits_{n\to\infty} \big(1-\frac13+\frac19-\cdots+\big(-\frac13\big)^n\big)$ хязгаарыг бод.
A. $1$
B. $\frac34$
C. $\frac43$
D. $\frac45$
E. $\frac35$
$b_n$ геометр прогрессийн бүх гишүүд нь эерэг тоо ба $S_9=511$. Хэрвээ $b_1=256$ бол $b_8$-ийг ол.
A. 2
B. 3
C. 5
D. 11
E. 1
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний 2 гишүүний нийлбэр 2, эхний 3 гишүүний нийлбэр 3 бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $8$
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $10$
D. $16$
E. $\dfrac{16}{3}$
Хуваарь нь $2$ байх $\{b_1,b_2,b_3,\dots,b_{10}\}$ геометр прогрессийн дараалсан гишүүд ба $A=b_1\cdot b_3\cdot b_5\cdot
b_7\cdot b_9$, $B=b_2\cdot b_4\cdot b_6\cdot b_8\cdot b_{10}$ бол $\displaystyle\frac{B}{A}$ утгыг ол.
A. $1/16$
B. $16$
C. $32$
D. $2$
E. $1/32$
Өсөх геометр прогрессийн эхний хоёр гишүүний нийлбэр 15, 1-р гишүүн хуваариасаа 4,5-аар их бол энэ прогрессийн 4-р гишүүн аль вэ?
A. $\dfrac{81}{4}$
B. $\dfrac{27}{4}$
C. $\dfrac{243}{4}$
D. $12.5$
E. $\dfrac{63}{4}$
$b_5=\dfrac{256}{243}$, $b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $\left(\dfrac43\right)^n$
B. $3\left(\dfrac43\right)^n$
C. $\dfrac13\left(\dfrac43\right)^{n-1}$
D. $\left(\dfrac34\right)^n$
E. $\dfrac13\left(\dfrac43\right)^n$
Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь $\sqrt a$ ба 5-р гишүүн нь $\sqrt[3]a$ бол түүний 49-р гишүүн нь аль вэ?
A. $a^{\frac32}$
B. $a^{-\frac32}$
C. $a^{\frac52}$
D. $a^{-\frac52}$
E. $a^{-\frac23}$
Геометр прогресс үүсгэх гурван тооны үржвэр 64 ба түүний дундахь гишүүн дээр 1-ийг нэмбэл арифметик прогресс үүсгэнэ. Энэ гурван тоо аль вэ?
A. 1, 4, 14;
B. $\dfrac12$, 4, 32;
C. 2, 4, 8;
D. $\dfrac14$, 4, 64;
E. 1, 4, 16
$\sqrt[3]{7},\sqrt[k]{7},7$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол $k=?$
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $2$
D. $3$
E. $6$
$3^{x+2}$, $3^{2x+4}$, $3^{5x-2}$ тоонууд геометр прогресс үүсгэх бол $x=?$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Өсөх геометр прогрессийн эхний хоёр гишүүний нийлбэр $15$, 1-р гишүүн хуваариасаа $4.5$-аар их бол энэ прогрессийн 4-р гишүүн аль вэ?
A. $\frac{81}4$
B. $\frac{27}4$
C. $\frac{243}4$
D. $27$
E. $81$
Өсөх геометр прогрессийн 6-р гишүүн нь 4-р гишүүнээсээ 4 дахин их ба $b_2+b_5=216$ бол ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $b_n=3\cdot2^n$
B. $b_n=3\cdot2^{n+1}$
C. $b_n=3\cdot2^{n-1}$
D. $b_n=2^{n+1}$
$b_7=\dfrac{64}{729}$ ба $b_{11}=\dfrac{1024}{59049}$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн хуваарь аль вэ?
A. $\frac13$
B. $\frac29$
C. $\frac23$
D. $\frac43$
$b_5=\dfrac{256}{243}$, $b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн хуваарь аль вэ?
A. $\frac34$
B. $\frac43$
C. $\frac23$
D. $\frac83$
$b_5=\dfrac{256}{243}$, $b_8=\dfrac{16384}{6561}$ байх геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $(\frac43)^n$
B. $3\cdot(\frac43)^n$
C. $\frac13(\frac43)^{n-1}$
D. $(\frac34)^n$
$b_7=\dfrac{729}{64}$, $b_{11}=\dfrac{59049}{1024}$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $\frac{3^n}{2^{n-1}}$
B. $(\frac23)^n$
C. $(\frac32)^{n-1}$
D. $\frac{2^{n-1}}{3^n}$
$b_4=24$ ба $b_8=384$ байх эерэг гишүүдтэй геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь аль вэ?
A. $2$
B. $4$
C. $6$
D. $3$
$b_5=162$, $b_8=4374$ байх геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь аль вэ?
A. $6$
B. $3$
C. $4$
D. $2$
6 ба 18-ын хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 5 гишүүнтэй геометр прогресс үүсгэх 3 тоог ол.
A. $\sqrt[4]3,\sqrt[4]9,\sqrt[4]{81}$
B. $6\sqrt[4]3,6\sqrt[4]9,6\sqrt[4]{27}$
C. $6\sqrt[4]2,6\sqrt[4]8,6\sqrt[4]{16}$
D. $\frac6{\sqrt[4]3},\frac6{\sqrt[4]9},\frac6{\sqrt[4]{81}}$
E. $6\sqrt3,6\sqrt9,6\sqrt{27}$
4 ба 64-ийн хооронд орших ба тэдгээртэй хамт 6 гишүүнтэй геометр прогресс үүсгэх 4 тоог ол.
A. $4^{\frac65}$, $4^{\frac85}$, $4^{\frac{10}5}$, $4^{\frac{11}5}$
B. $4^{\frac75}$, $4^{\frac95}$, $4^{\frac{11}5}$, $4^{\frac{13}5}$
C. $4^{\frac85}$, $4^{\frac95}$, $4^{\frac{12}5}$, $4^{\frac{13}5}$
D. $4^{\frac95}$, $4^{\frac{10}5}$, $4^{\frac{11}5}$, $4^{\frac{12}5}$
Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь $\sqrt a$ ба 5-р гишүүн нь $\sqrt[3]a$ бол түүний 49-р гишүүн нь аль вэ?
A. $a^{\frac32}$
B. $a^{-\frac32}$
C. $a^{\frac52}$
D. $a^{-\frac52}$
Геометр прогрессийн 1-р гишүүн нь $\sqrt[3]b$ ба 6-р гишүүн нь $\sqrt[4]b$ бол түүний 21-р гишүүн аль вэ?
A. $2b$
B. $\sqrt[3]b$
C. $1$
D. $\frac1{\sqrt[3]b}$
Эхний гишүүн нь 2 ба 6-р гишүүн нь 64, гишүүдийн нийлбэр 1022 байх геометр прогрессийн гишүүдийн тоо хэд вэ?
A. $8$
B. $10$
C. $7$
D. $9$
Хуваарь нь 3 ба 8-р гишүүн нь 243, бүх гишүүдийн нийлбэр $\frac{29524}9$ байх геометр прогрессийн гишүүдийн тоо хэд вэ?
A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. $11$
Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүн $b_n=3\cdot2^n$ томьёогоор өгөгдсөн бол түүний эхний 10 гишүүний нийлбэр аль вэ?
A. $3069$
B. $6138$
C. $6136$
D. $6132$
E. $2046$
Өсөх геометр прогрессийн хувьд $S_4=20$, $S_8=340$ бол $S_{12}$ нь аль вэ?
A. $5460$
B. $5400$
C. $5420$
D. $5440$
Геометр прогрессийн хувьд $b_4-b_2=20$ ба $b_2+b_3=10$ бол түүний ерөнхий гишүүний томьёо аль вэ?
A. $2.5\cdot3^{n-2}$
B. $2.5\cdot3^{n-1}$
C. $2.5\cdot3^n$
D. $2\cdot3^{n-2}$
Геометр прогрессийн хувьд $S_2=7$, $S_6=91$ бол $S_4$-ийг ол.
A. $31$
B. $30$
C. $28$
D. $26$
Геометр прогрессийн хувьд $b_4-b_1=126$, $S_3=42$ бол уг прогрессийн 1-р гишүүнийг ол.
A. $6$
B. $4$
C. $3$
D. $2$
E. $-2$
Геометр прогрессийн хувьд $b_1\cdot b_2\cdot b_3=81$, $b_5:b_2=3$ бол түүний $n$-р гишүүний томьёо аль вэ?
A. $3^{\frac{n+2}3}$
B. $3^{\frac{n+1}3}$
C. $3^{\frac{n-2}3}$
D. $3^{\frac{n+3}3}$
Геометр прогрессийн хувьд $b_1=3$, $b_4=-81$ бол $S_6$-ийг ол.
A. $540$
B. $-540$
C. $542$
D. $-546$
Геометр прогрессийн хувьд $S_5=484$, $q=3$ бол $b_1+b_6$-ийг ол.
A. $972$
B. $976$
C. $970$
D. $896$
Геометр прогрессийн хувьд $b_2=2$, $b_5=16$ бол $S_n$-ийг ол.
A. $2^n+1$
B. $2^n-1$
C. $2^n$
D. $2^{n+1}-1$
E. $2^{n-1}+1$
Геометр прогрессийн хувьд $S_n=\frac{243}2\left(1-\frac1{3^n}\right)$ бол $b_n$-ийг ол.
A. $3^{n-5}$
B. $3^{n-4}$
C. $3^{4-n}$
D. $3^{5-n}$
Буурах геометр прогрессийн хувьд $S_3=13$, $b_1^2+b_2^2+b_3^2=91$ бол $b_n$-ийг ол.
A. $9\cdot3^{-n}$
B. $9\cdot3^{-(n-1)}$
C. $9\cdot3^{-n-1}$
D. $9\cdot3^{-n-2}$
E. $9\cdot3^{2-n}$
Өсөх геометр прогрессийн хувьд $S_3=21$, $b_1^2+b_2^2+b_3^2=189$ бол $b_1$ ба $q$-ийг ол.
A. $4,3$
B. $2,3$
C. $3,2$
D. $3,4$
$2^m$, $6^m$ ба $x^m$ гурван тоо геометр прогрессийн дараалсан гишүүд бол $x$-ийг ол.
A. $3$
B. $6$
C. $12$
D. $18$
Аль тооны хувьд $3^{2+x}$, $3^{2x+4}$, $3^{5x-2}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?
A. $-4$
B. $6$
C. $4$
D. $2$
Ямар тооны хувьд $2^x$, $2^{3x+2}$, $2^{6x-8}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүд байх вэ?
A. $8$
B. $0$
C. $10$
D. $12$
E. $15$
$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд $\sin x$, $\sqrt2\sin2x$, $3\sin3x$ функцүүдийн утга өсөх геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $0$
B. $\frac{\pi}2$
C. $\frac{\pi}6$
D. $\frac{\pi}4$
$[-\pi; \pi]$ хэрчмийн аль утгын хувьд $\cos x$, $\sqrt2\cos2x$, $-\cos3x$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $0$
B. $\frac{\pi}2$
C. $\frac{\pi}3$
D. $\frac{\pi}4$
Аль тооны хувьд $\sqrt{x+1}$, $\sqrt[4]{2x+2}$, $\sqrt{x-1}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $0$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
Аль тооны хувьд $\sqrt[3]{x-1}$, $\sqrt[6]{7x+3}$, $\sqrt[3]{x+9}$ функцүүдийн утга геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?
A. $-4$
B. $4$
C. $3$
D. $2$
Өсөх геометр прогрессийн $b_1+b_2+b_3=42$, $\log_2b_1+\log_2b_2+\log_2b_3=9$ бол $b_n$-ийг ол.
A. $2^{2n-1}$
B. $2^{2(n-1)}$
C. $2^{2n+1}$
D. $2^{2(n+1)}$
Буурах геометр прогрессийн $b_1+b_2+b_3=62$, $\lg b_1+\lg b_2+\lg b_3=3$ бол $b_n$-ийг ол.
A. $50\cdot(0.2)^{n-1}$
B. $50\cdot(0.2)^{n}$
C. $50\cdot(0.2)^{n+1}$
D. $(50\cdot0.2)^{n-1}$
$1,5,12$ тоонууд ямар нэг геометр прогрессийн гишүүн болж чадах уу?
A. болно
B. болно $q=\sqrt5, b_1=1$
C. болохгүй
D. болно $q=\sqrt[4]5, b_1=1$
$S_n=1+4+4^2+4^3+\dots+4^n$ нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{4^n-1}3$
B. $\dfrac{4^n+1}3$
C. $\dfrac{4^{n+1}-1}3$
D. $\dfrac{4^{n+1}+1}3$
E. $\dfrac{4^{n-1}+1}3$
$S_n=\dfrac23+\dfrac2{3^2}+\dots+\dfrac2{3^n}$ нийлбэрийг ол.
A. $1+\frac2{3^n}$
B. $1-\frac2{3^n}$
C. $1-\frac1{3^n}$
D. $1+\frac1{3^n}$
$S_n=2+5+13+\dots+(2^{n-1}+3^{n-1})$ нийлбэрийг ол.
A. $\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n-3}2$
B. $2^n+\frac{3^n}2-1$
C. $\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}2$
D. $\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n-1}2$
$N$ өнцөгтийн талуудын урт $q=1.1$ хуваарьтай геометр прогресс үүсгэдэг бол $N$ нь хамгийн багадаа хэд байж болох вэ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 8
$\alpha$, $\beta$ нь $25x^2-20x+3=0$ квадрат тэгшитгэлийн шийдүүд бол
$$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$$
илэрхийллийн утгыг ол.
A. $1$
B. $\dfrac{8}{5}$
C. $\dfrac{5}{8}$
D. $\dfrac{8}{25}$
E. $\dfrac{25}{8}$
$|q|<1$ бол $\sum\limits_{k=0}^\infty q^n<\dfrac34$ байх $q$-ийн утгын мужийг ол.
A. $\big]-\infty;-\frac13\big[$
B. $\big]-1;-\frac13\big[$
C. $\big]-1;\frac13\big[$
D. $\big]\frac13;1\big[$
E. $\big]-\frac13;1\big[$
$4$, $x-4$, $x+4$ тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.
A. $4$
B. $8$
C. $x$
D. $6$
E. $2$
$a_n$ дарааллалын эхний $n$ гишүүний нийлбэр нь $S_{n}=2^n+2n-1$ байв.
$$a_1+a_3+\cdots+a_{2k-1}$$ нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{4^k+5}{3}$
B. $\dfrac{4^k-1}{3}$
C. $\dfrac{2^k-1}{3}+2k$
D. $\dfrac{4^k-1}{3}+2k$
E. $\dfrac{2^k+1}{3}+2$
Геометр прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр нь $S_n=2(3^n-1)$ бол эхний 3 гишүүнийг жагсааж бич.
A. $1$, $3$, $9$
B. $2$, $6$, $18$
C. $4$, $36$, $108$
D. $4$, $-12$, $36$
E. $4$, $12$, $36$
$3$, $x-3$, $x+3$ тоонууд энэ дарааллаараа өсдөг геометр прогресс үүсгэнэ. Энэ прогрессийн хуваарийг ол.
A. $1.5$
B. $2$
C. $2.5$
D. $3$
E. $4$
Геометр прогрессийн 1-р гишүүн $\sqrt[3]{x}$, 3-р гишүүн $\sqrt{x}$ бол 9-р гишүүн аль нь вэ?
A. $\sqrt[12]{x}$
B. $x^{\frac24}$
C. $x$
D. $x^{\frac23}$
E. $x^{\frac32}$
Геометр прогрессийн $b_3=2$, $b_6=16$ бол $b_1=?$
A. $-\dfrac12$
B. $\dfrac14$
C. $\dfrac18$
D. $\dfrac12$
E. $1$
$16x^2+8x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $\alpha$, $\beta$ бол
$$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$$
илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\dfrac{1}{17}$
B. $\dfrac{32}{51}$
C. $\dfrac{16}{17}$
D. $-\dfrac{16}{23}$
E. $\dfrac{16}{23}$
$8x^2+4x-1=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $\alpha$, $\beta$ бол
$$(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\cdots)(1+\beta+\beta^2+\beta^3+\cdots)$$
илэрхийллийн утгыг ол.
A. $-\dfrac{8}{11}$
B. $\dfrac{1}{11}$
C. $\dfrac{8}{11}$
D. $-\dfrac{1}{8}$
E. $\dfrac{13}{8}$
Геометр прогресс үүсэх 4 тооны эхний хоёрынх нь нийлбэр 44, сүүлчийн хоёрынх нь нийлбэр нь 396 байв. Прогрессийн хуваарь сөрөг тоо бол эхний гишүүнийг ол.
A. $11$
B. $-22$
C. $-11$
D. $22$
E. $-21$
Геометр прогрессийн хувьд $S_2=6$, $S_6=42$ бол $S_4$-ийг ол.
A. 32
B. 28
C. 29
D. 18
E. 31
Геометр прогрессийн хувьд $S_2=3$, $S_6=21$ бол $S_4$-ийг ол.
A. 16
B. 9
C. 13
D. 8
E. 10
$\{ b_n \}$ геометр прогрессийн хувьд $b_{10}=100 , b_{11}=1000$ бол $b_{18}=?$
A. $10^8$
B. $10^9$
C. $10^{10}$
D. $10^{11}$
E. $10^{12}$
Геометр прогрессын 2-р гишүүн нь 5, 10-р гишүүн 45 бол 6-р гишүүнийг ол.
A. $\sqrt[4]{3}$
B. $5\cdot\sqrt[4]{3}$
C. $12$
D. $15$
E. $18$
$ {\begin{pmatrix}
x +y =1\\
3^{x-1}=9^y \\
\end{pmatrix}}$
системийн шийдүүдийн ялгаврыг ол.
$ x-y$ = ?
системийн шийдүүдийн ялгаврыг ол.
$ x-y$ = ?
A. $ 5$
B. $ 1, 3$
C. $ -1 $
D. $ 1 $
E. $ 3$
$\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2x}$, $8$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол $q$-г ол.
A. $\sqrt[3]{4}$
B. $2$
C. $4$
D. $ 2\sqrt[3]{2} $
E. $\sqrt[3]{2}$
$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[3]{3x}$, $27$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол $q$-г ол.
A. $\sqrt[3]{9}$
B. $3\sqrt[3]{3}$
C. $9$
D. $3$
E. $\sqrt[3]{243}$
$ \sqrt[3]{3}$, $ \sqrt[3]{3x}$, $ 27$ тоонууд өсөх геометр прогресс үүсгэх бол $q$-г ол.
A. $\sqrt[3]{9}$
B. $ 3\sqrt[3]{3}$
C. $9$
D. $ 3$
E. $\sqrt[3]{243}$
2 ба 4-р гишүүдийн нийлбэр нь 20, харин 4 ба 6-р гишүүдийн нийлбэр нь 80 гардаг сөрөг биш эхний гишүүнтэй геометр прогресс өгөгдөв.
а) 3 дугаар гишүүн нь $\fbox{a}$ байна.
б) Эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$ гэе. $S_n$ $1000$-аас
бага байх хамгийн их $n$ нь $\fbox{b}$ байна.
2 ба 5-р гишүүдийн нийлбэр нь $\dfrac{27}{2}$, харин 3 ба 6-р гишүүдийн нийлбэр нь $27$ байх геометр прогресс өгөгдөв.
а) 3 дугаар гишүүн нь $\fbox{a}$ байна.
б) Эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг $S_n$ гэе. $S_n$ $1000$-аас
бага байх хамгийн их $n$ нь $\fbox{bc}$ байна.
$OA=OB=5$ байх $OAB$ тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдөв. $A_1,O_1, B_1$ цэгүүдээр харгалзан $OA,AB,BO$ талуудыг $OA_1:A_1A=AO_1:O_1B=BB_1:B_1O=2:3$ байхаар хуваая. $A_2,O_2, B_2$ цэгүүдээр харгалзан $O_1A_1,A_1B_1,B_1O_1$ талуудыг өмнөхийн адил $2:3$ харьцаанд хуваах гэхмэтчилэн,
энэ үйлдлийг $n$ удаа давтахад үүсэх гурвалжинг $\triangle O_nA_nB_n$ гэж тэмдэглэе.
а) $O_1A_1B_1$ гурвалжны талбай нь $\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$,
б) $O_2A_2B_2$ гурвалжны талбай нь $\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ef}}$ байна.
в) $O_nA_nB_n$ гурвалжны талбайг $S_n$ гэвэл
$S_1,S_2,S_3,\dots$ дараалал нь геометр прогресс үүсгэх ба
ерөнхий гишүүн нь
$S_n=\dfrac{\fbox{g}}{12}\cdot\left(\dfrac{\fbox{h}}{\fbox{ij}}\right)^{n-1}$
болно.
$OA=OB=5$ байх $OAB$ тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдөв.
$A_1,O_1, B_1$ цэгүүдээр харгалзан $OA,AB,BO$ талуудыг
$OA_1:A_1A=AO_1:O_1B=BB_1:B_1O=1:\fbox{a}$ харьцаагаар хуваахад
үүсэх $O_1A_1B_1$ гурвалжны талбай $\dfrac{13}{2}$ байна.
$A_2,O_2, B_2$ цэгүүдээр харгалзан $O_1A_1,A_1B_1,B_1O_1$
талуудыг өмнөхийн адил харьцаанд хуваах гэхмэтчилэн,
энэ үйлдлийг $n$ удаа давтахад үүсэх $O_n,A_n,B_n$ орой бүхий гурвалжинг $\triangle O_nA_nB_n$ гэж тэмдэглэе.
а) $O_2A_2B_2$ гурвалжны талбай нь $\dfrac{\fbox{bcd}}{50}$ байна.
б) $O_nA_nB_n$ гурвалжны талбайг $S_n$ гэвэл
$S_1,S_2,S_3,\dots$ дараалал нь геометр прогресс үүсгэх ба
ерөнхий гишүүн нь
$S_n=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{g}}\cdot\left(\dfrac{\fbox{hi}}{25}\right)^{n}$
болно.
Геометр прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр дээр арифметик прогрессийн $n$ дугаар гишүүнийг нэмэхэд $2,3,7,17,\dots$ дараалал үүсэв.
Энэ дарааллын $n$ дүгээр гишүүн нь $c_n=\fbox{a}\cdot\fbox{b}^{n-1}-\fbox{c}\cdot n+\fbox{d}$ байна.
Геометр прогрессийн эхний $n$ дугаар гишүүн дээр
арифметик прогрессийн $n$ дүгээр гишүүнийг нэмэхэд
2,5,9,15,\dots дараалал үүсэв. Энэ дарааллын $n$ дугаар
гишүүн $c_n=\fbox{a}^{n-1}+\fbox{b}\cdot n-\fbox{c}$ байна.
$a$ $(a>0)$ эхний гишүүн, $q$ хуваарьтай геометр прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр 189, хамгийн их гишүүн нь 96 болно. Эхний $2n$ гишүүний нийлбэр 12285 бол $a=\fbox{a}$, $q=\fbox{b}$ байна.
$a$ $(a>0)$ эхний гишүүн, $q$ ноогдвортой геометр
прогрессийн эхний $n$ гишүүний нийлбэр 6480, эхний $2n$ гишүүний
нийлбэр $6560$. Эхний $2n$ гишүүдээс хамгийн бага нь $2$ бол
$a=\fbox{a}\cdot \fbox{b}^7$, $q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$
байна.
Геометр прогресс үүсгэх $a_1, a_2,\dots, a_n$ тоонууд өгөгдөв. $a_1=1$ ба хуваарь $r\not =0$ гэе. $n\geq 4$ үед
$$b_k=a_k-2(a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_n) k=1, 2,\dots, n-1$$
гэж өгөгдсөн дараалал $r=\fbox{a}$ эсвэл $r=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ үед арифметик прогресс үүсгэнэ.
Геометр прогресс үүсгэх $a_1, a_2,\dots, a_n$ тоонууд өгөгдөв. $a_1=1$ ба хуваарь $r\not =0$ гэе. $n\geq 4$ үед
$$b_k=a_k-3(a_{k+1}+a_{k+2}+\dots+a_n) k=1, 2,\dots, n-1$$
дараалал арифметик прогресс үүсгэдэг бол $r=\fbox{a}$ эсвэл
$r=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{c}}$ байна.
$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг $q$ гэж тэмдэглэе. $b_1>0$, $1>q>0$ байг.
$\{b_n\}$ нь
а) $\{ b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ ба
$\left\{\dfrac{1}{b_1},\dfrac{1}{b_2},\dfrac{1}{b_3},\dfrac{1}{b_4},\dfrac{1}{b_5}\right\}$
олонлогууд давхцана,
б) $b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=\dfrac{31}{4}$
гэсэн нөхцлүүдийг хангана. а) нөхцлөөс $b_1q^2=\fbox{a}$ болно.
Мөн
$$b_1+b_2+b_3+b_4+b_5=b_1q^2\left((q+q^{-1})^2+q+q^{-1}-\fbox{b}\right)$$
гэдгээс $q+q^{-1}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болно. Эндээс
$q=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$, $b_1=\fbox{g}$ гэж олдоно.
$\{b_n\}$ геометр прогрессийн хуваарийг $q$ гэж тэмдэглэе. $b_1>0$, $1>q>0$ байг.
$\{b_n\}$ нь
а) $\{ b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\}$ ба
$\left\{\dfrac{1}{b_1},\dfrac{1}{b_2},\dfrac{1}{b_3},\dfrac{1}{b_4},\dfrac{1}{b_5}\right\}$
олонлогууд давхцана,
б) $b_1-b_2+b_3-b_4+b_5=\dfrac{61}{9}$
гэсэн нөхцлүүдийг хангана. а) нөхцлөөс $b_1q^2=\fbox{a}$ болно.
Мөн
$$b_1-b_2+b_3-b_4+b_5=b_1q^2\left((q+q^{-1})^2-(q+q^{-1})-\fbox{b}\right)$$
гэдгээс $q+q^{-1}=\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{e}}$ болно. Эндээс
$q=\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{g}}$, $b_1=\fbox{h}$ гэж олдоно.
Төгсгөлгүй буурах $b_{n}$ геометр прогрессийн бүх гишүүдийн нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i=2$, квадратуудын нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^2=1$ бол $b_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$, $q=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ болох тул кубуудын нийлбэр нь $\sum\limits_{i=1}^{\infty} b_i^3=\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$ байна.
Геометр прогрессийн нийлбэр
Дараалал ба цувааны тухай ойлголт
$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=?$
A. $\dfrac{1}{(1-x)^2}$
B. $\dfrac{1}{1-x^2}$
C. $\dfrac{1}{(1+x)^2}$
D. $\dfrac{1}{1+x^2}$
E. $\dfrac{1}{1-x-x^2}$
Дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо
Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүн ба эхний $n$ гишүүний нийлбэрийг ол.
- $3, 4, 7, 16, 43, 124,\ldots$
- $2, 11, 32, 71, 134,\ldots$
$n$-натурал тоо. $a_{n}=(n+3)^2(7n-39)$ дарааллын хамгийн бага гишүүн болон
түүний дугаарыг ол.
$f(x)=x^3-3x^2$ байг. $A(a, f(a))$ цэгийг дайрах шулуун, $A$
цэгээс өөр $B(b, f(b))$ цэгээр $y=f(x)$ муруйтай шүргэлцэх бол $b=g(a)$ гэе. $x_1=g(0), x_{n+1}=g(x_n), (n=1, 2, 3,\ldots)$ томъёогоор
$\{x_n\}$ тоон дарааллыг үүсгэе.
- $g(a)$-г ол.
- $x_n$-ийг $n$-р илэрхийл.
$5,7,11,19,\dots$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
A. $1+3^n$
B. $2+2^{n-1}$
C. $2+3^n$
D. $3+2^n$
E. $3+2n$
$\{1;2;6;24;120;\dots\}$ дарааллын ерөнхий гишүүний томьёог бич.
A. $n!$
B. $(n-1)!$
C. $n!-1$
D. $(n+1)!$
E. $(n+1)!-1$
$x_1=\displaystyle\frac 12; x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-x_n},\ n\in\mathbb N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
A. $\dfrac{n-1}{n+1}$
B. $\dfrac{n}{n+1}$
C. $\dfrac{n}{2n-1}$
D. $\dfrac{1}{2^n}$
E. $\dfrac{n}{2^n}$
$x_n=\displaystyle\frac{21}{3n^2-14n-17}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $3$
E. $2$
$x_n=\dfrac{\sqrt{n}}{100+n}$ дарааллын хамгийн их гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $\dfrac 13$
B. $\dfrac{1}{20}$
C. $\dfrac12$
D. $\dfrac 23$
E. $\dfrac23$
$a_n=-3n^2+50n+2$ томьёогоор өгсөн дарааллын хамгийн их гишүүний дугаарыг ол.
A. 10
B. 8
C. 7
D. 9
E. 11
$a_n=\dfrac{3^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.
A. $\dfrac{3}{n-1}$
B. $\dfrac{n-1}{3}$
C. $\dfrac{n}{3}$
D. $\dfrac{3^n}{n}$
E. $\dfrac{3}{n}$
$b_n=\dfrac{5^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд $\dfrac{b_n}{b_{n+1}}$ харьцааг ол.
A. $\dfrac{5}{n-1}$
B. $\dfrac{n-1}{5}$
C. $\dfrac{n}{5^n}$
D. $\dfrac{5}{n}$
E. $\dfrac{n}{5}$
$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.
A. $\dfrac{2}{n-1}$
B. $\dfrac{n-1}{2}$
C. $\dfrac{n}{2}$
D. $\dfrac{2}{n}$
E. $\dfrac{2^n}{n}$
$c_n=\dfrac{7^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд $\dfrac{c_n}{c_{n+1}}$ харьцааг ол.
A. $\dfrac{7}{n-1}$
B. $\dfrac{n-1}{7}$
C. $\dfrac{n}{7}$
D. $\dfrac{7}{n}$
E. $\dfrac{7^n}{n}$
$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{(n-1)!}$ дарааллын хувьд $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ харьцааг ол.
A. $\dfrac{2}{n-1}$
B. $\dfrac{n-1}{2}$
C. $\dfrac{n}{2}$
D. $\dfrac{2}{n}$
E. $\dfrac{2^n}{n}$
$x_n=\displaystyle\frac{21}{3n^2-14n-17}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $3$
E. $2$
$x_n=\displaystyle\frac{6}{n^2-5n+3}$ дарааллын хамгийн их гишүүнийг ол.
A. $5$
B. $6$
C. $7$
D. $3$
E. $2$
$3,7,11,\ldots$ дарааллын 5-р гишүүнийг ол.
A. $19$
B. $23$
C. $15$
D. $18$
E. $17$
$a_n=n^2-6n+10$ ерөнхий гишүүнтэй дарааллын хамгийн бага гишүүн ямар утгатай вэ?
A. $-1$
B. $1$
C. $0$
D. $2$
E. $3$
$5,11,29,83,\dots$ дарааллын ерөнхий гишүүн аль нь байж болох вэ?
A. $1+3^n$
B. $2+2^{n-1}$
C. $2+3^n$
D. $3+2^n$
E. $6n-1$
$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.
- Энэ дарааллын 70-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
- $N$ тоо 70-р гишүүн хүртэл (70-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
- Эхний 70 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$
$2,4,6,8,\dots$ гэсэн дараалал өгөгдөв.
а) Дараалсан 5 гишүүний эхний гурвын нийлбэр нь сүүлийн хоёр гишүүнийхээ нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн $\fbox{ab}$ байна.
б) $2,4,6,8,\dots$ дарааллын $2n+1$ гишүүний эхний
$n+1$ гишүүнийн нийлбэр нь сүүлийн $n$ гишүүнийхээ нийлбэртэй
тэнцүү бол голын гишүүн $\fbox{c}\cdot n^{\fbox{d}}+\fbox{e}\cdot
n$ байна.
$$1,\frac12,\frac12,\frac14,\frac14,\frac14,\frac14,\frac18,\dots$$
дараалал
($(\frac{1}{2^{k}})$ тоо $2^{k}$ удаа давтагдана) өгөгдөв.
а) Эхний 1000 гишүүний нийлбэр нь $\fbox{a}+\dfrac{\fbox{bcd}}{2^{\fbox{e}}}$ байна. [2mm]
б) Эхний $n$ гишүүний нийлбэр 100 бол $n=2^{\fbox{fgh}}-\fbox{i}$
байна.
$$1,\frac13,\frac13,\frac13,\frac19,\frac19, \dots \frac19,\frac{1}{27},\dots$$
дараалал
($(\frac{1}{3^{k}})$ тоо $3^{k}$ удаа давтагдана) өгөгдөв.
а) Эхний 500 гишүүний нийлбэр нь $\fbox{a}+\dfrac{\fbox{bcd}}{3^{\fbox{e}}}$ байна. [2mm]
б) Эхний $n$ гишүүний нийлбэр 50 бол
$n=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{2}}\left(3^{\fbox{fg}}-\fbox{h}\right)$
байна.
$1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,\dots $ гэсэн дараалал өгөгдөв.
1) 68 гэсэн тоо дараалалд 33 дахь удаа тааралдахдаа уг дарааллын $\fbox{abcd}$ дугаар гишүүн болно.
2) Дээрх дарааллын 200 дугаар гишүүн $\fbox{ef}$ болно.
$$\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\dots$$
дараалал өгөгдөв.
1) $\dfrac{5}{22}$ тоо дээрх дарааллын $\fbox{abc}$ дугаар гишүүн болно.
2) Дээрх дарааллын 99 дугаар гишүүн $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$
болно.
$a_n=2^n, (n=1, 2, ...), b_k=5k+2, (k=1, 2, ...)$ тоон дарааллууд өгөгдөв. $\{b_k\}$ дараалалд
харъяалагдах $\{a_n\}$ дарааллын гишүүдийг өсөх эрэмбээр авч $\{c_n\}$ гэсэн шинэ дараалал байгуулъя.
а) $c_1=\fbox{ab}$ байна.
б) $c_n=\fbox{cd}^{n+\frac{\fbox{e}}{\fbox{f}}}, (n=1, 2, ...)$
байна.
$a_n=2^n, (n=1, 2, \dots), b_k=5k+4, (k=1, 2, \dots)$ тоон дарааллууд өгөгдөв. $\{b_k\}$ дараалалд
харъяалагдах $\{a_n\}$ дарааллын гишүүдийг өсөх эрэмбээр авч $\{c_n\}$ гэсэн шинэ дараалал байгуулъя.
а) $c_1=\fbox{ab}$ байна.
б) $c_n=\fbox{cd}^{n+\frac{\fbox{e}}{\fbox{f}}}, (n=1, 2, \dots)$
байна.
$\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\dots+\displaystyle\frac{1}{a_n}=\displaystyle\frac{3\cdot n}{4n+1}, n=1,2,3\dots$ бол $\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь $a_n=\displaystyle\frac{(\fbox{a}\cdot n+1)\cdot(\fbox{b}\cdot n-\fbox{c})}{\fbox{d}}$ байна.
$\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+\dots+\displaystyle\frac{1}{a_n}=\displaystyle\frac{4\cdot n}{3n+1}, n=1,2,3\dots$ бол $\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь $a_n=\displaystyle\frac{(\fbox{a}\cdot n+1)\cdot(\fbox{b}\cdot n-\fbox{c})}{\fbox{d}}$ байна.
$a_1+a_2+\dots+a_n=\displaystyle\frac{m\cdot n+1}{3n}, n=1,2,3\dots$ бол $\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь $a_n=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n(n-\fbox{c})}, n\geq 2$ байна.
$a_1+a_2+\dots+a_n=\displaystyle\frac{m\cdot n+1}{4n}, n=1,2,3\dots$ бол $\{a_n\}$ дараалалын ерөнхий гишүүн нь $a_n=-\displaystyle\frac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n(n-\fbox{c})}, n\geq 2$ байна.
$1, 1, \frac12, -\frac13, \frac14, \frac19, \frac{1}{8}, -\frac{1}{27}, \frac{1}{16}, \ldots $ дарааллын 2016-р гишүүн $\fbox{a}\dfrac{1}{\fbox{b}^{1007}}$ байна. Эхний $k$ гишүүний нийлбэрийг $S_k$ гэвэл $$S_{2n}=\dfrac{\fbox{cd}}{4}-\dfrac1{\fbox{e}^{n-1}}-\dfrac1{4\cdot\fbox{fg}^{n-1}}$$ байна. $S_{2n-1}=S_{2n}-\big(\frac1{-3}\big)^{n-\fbox{h}}$ тул энэ дараалалын бүх гишүүдийн нийлбэр$S=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=\dfrac{\fbox{ij}}{\fbox{k}}$ байна.
$$\dfrac11,\dfrac12,\dfrac21,\dfrac13,\dfrac22,\dfrac31,\dfrac14,\dfrac23,\dfrac32,\dfrac41,\dfrac15,\dots$$
дараалал өгөгдөв.
1) $\dfrac{5}{22}$ тоо дээрх дарааллын $\fbox{abc}$ дугаар гишүүн болно.
2) Дээрх дарааллын 99 дугаар гишүүн $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$
болно.
Эхний гишүүн $a_1=6$, ялгавар $d=6$ байх арифметик прогресс $\{a_n\}$ ба $a_0=1$ тооны хувьд $$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$$
дараалал зохиовол $b_n=\fbox{a}n^2+3n+\fbox{b}$ (4 оноо) болох ба $169$ түүний $\fbox{c}$ (3 оноо) дугаар гишүүн байна.
Эхний гишүүн $a_1=2$, ялгавар $d=8$ байх арифметик прогресс $\{a_n\}$ ба $a_0=4$ тооны хувьд $$b_1=a_0+a_1, b_n=b_{n-1}+a_n, n=2, 3, 4,\dots$$
дараалал зохиовол $b_n=\fbox{a}n^2-\fbox{b}n+4$ (4 оноо) болох ба $136$ түүний $\fbox{c}$ (3 оноо) дугаар гишүүн байна.
$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.
- Энэ дарааллын 60-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
- $N$ тоо 60-р гишүүн хүртэл (60-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
- Эхний 60 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$
Дарааллын хязгаарын теоремууд
$x_n=1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n-\ln n$ байг. $n\ge 2$
- $x_{n+1}-x_n<0$ гэж батал.
- $x_n$ доороосоо зааглагдсан гэж харуул.
- $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ хязгаар оршихыг харуул. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\gamma=0.5772156649\dots$ тоог Эйлер-Маклорены тогтмол гэдэг. Эндээс $$1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n\approx\ln n+\gamma.$$
Математик индукц
% $\prod_n=\left(\dfrac12-1\right)\left(\dfrac13-1\right)\dots\left(\dfrac1{n+1}-1\right)$ үржвэр аль вэ?
A. $\dfrac1n$
B. $\dfrac1{n+1}$
C. $(-1)^n\dfrac1{n+1}$
D. $(-1)^{n+1}\dfrac1{n+1}$
E. $\dfrac{n}{n+1}$
% $\prod_n=\left(1-\dfrac14\right)\left(1-\dfrac19\right)\dots \left(1-\dfrac1{(n+1)^2}\right)$ үржвэр аль вэ?
A. $\frac{n+2}{n+1}$
B. $\frac{n}{2(n+1)}$
C. $\frac{n+1}{2(n+1)}$
D. $\frac{n+2}{2n+2}$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $n!\le n^{n-1}$
B. $n!=n^{n-1}$
C. $n!>n^{n-1}$
D. $n!< n^{n-1}$
E. $n!\ge n^{n-1}$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $(2n)!\ge2^n(n!)^2$
B. $(2n)!>2^n(n!)^2$
C. $(2n)!=2^n(n!)^2$
D. $(2n)!<2^n(n!)^2$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $n^2\ge4^n$
B. $n^2=4^n$
C. $n^2<4^n$
D. $4n^2<4^n$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $n2^n<3^n$
B. $n2^n=3^n$
C. $(n+1)2^n<3^n$
D. $(n+1)2^n>3^n$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $2^{2n}+2$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $5$
B. $7$
C. $3$
D. $4$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $n^3-n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $5$
B. $7$
C. $8$
D. $3$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $13^{2n}+6$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $2$
B. $3$
C. $5$
D. $7$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $12^n+10$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $7$
B. $8$
C. $9$
D. $11$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $5n^3+n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $5$
B. $10$
C. $6$
D. $7$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $2^{4n+1}+3\cdot16^n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $6$
B. $10$
C. $5$
D. $7$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $3^{2n}-2^n$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $9$
B. $8$
C. $7$
D. $11$
Дурын натурал $\mathbb{N}\ni n$ тооны хувьд $n(n+1)(2n+1)$ тоо аль тоонд хуваагдах вэ?
A. $5$
B. $8$
C. $6$
D. $7$
E. $9$
$n$ дурын натурал тоо бол $S_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{2^n-1}$ нийлбэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $S_n>\frac n2$
B. $S_n<\frac n2$
C. $S_n>\frac{n+1}2$
D. $S_n<\frac{n+1}2$
$n\ge2$ дурын натурал тоо бол $S_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\dots+\dfrac1{2^n-1}$ нийлбэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $S_n<n$
B. $S_n\ge n$
C. $S_n<n-1$
D. $S_n<\frac{n+1}2$
Хэрэв $0< \alpha< \dfrac{\pi}2$ ба $n$ дурын натурал тоо бол $S_n=\Bigl(1+\dfrac1{\sin^{n}\alpha}\Bigr)\Bigl(1+\dfrac1{\cos^{n}\alpha}\Bigr)$ үржвэрийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $S_n>(1+2^n)^2$
B. $S_n\ge(1+2^{\frac n2})^2$
C. $S_n<(1+2^{\frac n2})^2$
D. $S_n<2^n$
Хэрэв $0< x< \dfrac{\pi}2$ ба $n$ дурын натурал тоо бол $y=\cos^{2n}\dfrac x{2^n},$ $y=\cos x$ функцүүдийн хувьд аль тэнцэтгэл биш үнэн бэ?
A. $\cos x>\cos^{2n}\frac x{2^n}$
B. $\cos x\le\cos^{2n}\frac x{2^n}$
C. $\cos^{2n}\frac x{2^n}$-тэй үл жишигдэнэ
D. $\cos x>n\cos^{2n}\frac x{2^n}$
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+15n+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n+17=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+17=\fbox{c}(4^k+15k+17)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n+17=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+17$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+17=\fbox{c}(4^k+15k+17)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+24n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+24n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+24k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+24(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+24k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+24n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+24k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+24(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+24k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+15n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+15n+8$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n+8=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+8$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+8=\fbox{c}(4^k+15k+8)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n+8=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k+8$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)+8=\fbox{c}(4^k+15k+8)-\fbox{d}(\fbox{e}k+\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
$n$ дурын натурал тоо бол $4^n+15n-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Бодолт:
I. $n=1$ үед $4^n+15n-1=\fbox{ab}$ тул 9-д хуваагдана.
II. $n=k$ үед $4^k+15k-1$ илэрхийлэл 9-д хуваагддаг гэж үзье.
III. $n=k+1$ үед $4^{k+1}+15(k+1)-1=\fbox{c}(4^k+15k-1)-\fbox{d}(\fbox{e}k-\fbox{f})$ болно. Индукцийн өмнөх алхмыг тооцвол нэмэгдэхүүн тус бүр 9-д хуваагдаж байгаа тул нийлбэр нь 9-д хуваагдана.
Нийлбэр ба $n$-р гишүүний хамаарал
Нийлбэр олох бодлогууд
Дараах нийлбэрүүдийг ол.
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$
- $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
- $\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$
Дараах нийлбэрийг ол.
- $\sum\limits_{k=5}^7(k^2-k+1)$
- $\sum\limits_{k=2}^n(2^k+3)$
- $\sum\limits_{k=1}^{10}\dfrac{2^k-1}{2^{k-1}}$
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k+1)$
- $\sum\limits_{k=1}^n(k\cdot(2k-1))$
$S_n=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n\cdot(n+1)}$ нийлбэрийг ол.
$S_n=1\cdot2^0+2\cdot2^1+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n-1}$ нийлбэрийг ол.
$6, 24, 60, 120, 210, 336, 504,\ldots$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
$S_n=1\cdot5^0+2\cdot5^1+3\cdot5^2+\cdots+n\cdot5^{n-1}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$ нийлбэрийг бод.
$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^{10}(k^2+k+1)-\sum\limits_{k=1}^{10}(k^2-k-1)$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $120$
B. $125$
C. $140$
D. $150$
E. $130$
$\sum\limits_{k=1}^{10}(2k^2-4k+7)-\sum\limits_{k=1}^{10}(2k^2-10k+1)$ нийлбэрийг ол.
A. $300$
B. $930$
C. $600$
D. $390$
E. $550$
$y=f(x)$ функцийн хувьд $f(x+1)-f(x)=2x-1$ нөхцөл биелэдэг бол $f(2007)-f(1)$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. $2006^2$
B. $2006\cdot 2007$
C. $2007^2$
D. $2007\cdot 2005$
E. $2006\cdot 2005$
Дараах рекуррент томъёогоор өгөгдсөн дарааллын эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол. $a_1=5$, $a_{n-1}\cdot a_n=2$.
A. $25$
B. $27$
C. $25.75$
D. $22$
E. $27.75$
$\displaystyle A=\frac27+\frac57+\frac87+\cdots+11$; $\displaystyle B=\frac{79}7+\frac{79}{21}+\frac{79}{63}+\cdots$ бол $\dfrac{A}{B}=?$
A. $\frac{26}3$
B. $\frac{3}{26}$
C. $\frac{52}3$
D. $6$
E. $\frac{52}{11}$
$1^2+2^2+\dots+7^2=?$
A. 28
B. 140
C. 56
D. 36
E. 138
$1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3^2}+\dfrac{3}{3^3}+\dfrac{4}{3^4}+\dfrac{5}{3^5}+\cdots+\dfrac{10}{3^{10}}$ нийлбэрийг ол.
A. $-\dfrac74+\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$
B. $\dfrac74-\dfrac{23}{4\cdot 3^{10}}$
C. $\dfrac{2012}{3^{10}}$
D. $-\dfrac{2012}{3^{10}}$
E. $\dfrac{1}{3^{10}}$
$a_n$ дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n=3^n$ бол $a_{2012}$ аль нь вэ?
A. $3^{2012}$
B. $2\cdot 3^{2011}$
C. $3^{2013}-3^{2012}$
D. $3^{2011}+3^{2012}$
E. $\dfrac14\cdot 3^{2012}$
$\sum\limits_{m=1}^6\sum\limits_{n=1}^4(mn)=?$
A. 180
B. 190
C. 200
D. 208
E. 210
$\sum\limits_{m=1}^2\sum\limits_{n=2}^4(mn)=?$
A. $27$
B. $28$
C. $29$
D. $30$
E. $31$
$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^2(i\cdot j^2)$ нийлбэрийг бод.
A. $10$
B. $20$
C. $30$
D. $40$
E. $50$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n(n+1)}=?$
A. $1$
B. $\dfrac{99}{101}$
C. $\dfrac{100}{101}$
D. $\dfrac{99}{100}$
E. $1.01$
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $-2$
B. $3$
C. $2$
D. $-3$
E. $4$
$1+\displaystyle\frac{1}{2\cdot 4}+\displaystyle\frac{1}{4\cdot 6}+\dots +\displaystyle\frac{1}{20\cdot 22}$ нь аль вэ?
A. $\dfrac{22}{27}$
B. $\dfrac{16}{11}$
C. $\dfrac{27}{22}$
D. $\dfrac{13}{11}$
E. $2$
$1+\displaystyle\frac{1}{1\cdot 3}+\displaystyle\frac{1}{3\cdot 5}+\dots +\displaystyle\frac{1}{31\cdot 33}$ нь аль вэ?
A. 33
B. $\dfrac{49}{33}$
C. $\dfrac{33}{49}$
D. 49
E. 35
$\dfrac{1}{1\cdot 4}+\dfrac{1}{4\cdot 7}+\dots+\dfrac{1}{28\cdot 31}$ нь аль вэ?
A. $\dfrac{32}{93}$
B. $\dfrac{31}{10}$
C. $\dfrac{10}{31}$
D. $\dfrac{1}{3}$
E. $\dfrac{11}{31}$
$\displaystyle\frac{1}{2\cdot 5}+\displaystyle\frac{1}{5\cdot 8}+\dots +\displaystyle\frac{1}{29\cdot 32}$ нь аль вэ?
A. $\dfrac{3}{16}$
B. $\dfrac{5}{32}$
C. $\dfrac{4}{29}$
D. $\dfrac{17}{96}$
E. $\dfrac{5}{64}$
$S_n=2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\dots+(n+1)\cdot2^n$ нийлбэрийг ол.
A. $(n+1)2^n$
B. $n2^{n+1}$
C. $(n+1)2^{n+1}$
D. $(n-1)2^{n+1}$
E. $(n-1)2^{n+1}+4$
$S_n=\dfrac1{1\cdot5}+\dfrac1{5\cdot9}+\dfrac1{9\cdot13}+\dots+\dfrac1{(4n-3)(4n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac{n+1}{4n+1}$
B. $\frac{n}{4n+1}$
C. $\frac{n-1}{4n+1}$
D. $\frac{2n}{4n+1}$
$S_n=\dfrac1{1\cdot6}+\dfrac1{6\cdot11}+\dfrac1{11\cdot16}\dots+\dfrac1{(5n-4)(5n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac n{5n-1}$
B. $\frac{n+1}{5n+1}$
C. $\frac n{5n+1}$
D. $\frac{n-1}{5n-4}$
$\dfrac1{1\cdot4}+\dfrac1{4\cdot7}+\dots+\dfrac1{(3n-2)(3n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac n{3n+1}$
B. $\frac{n+1}{3n+1}$
C. $\frac{3(n-1)}{3n+1}$
D. $\frac{3n}{3n+1}$
$\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{3\cdot5}+\dots+\dfrac1{(2n-1)(2n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac n{2n+1}$
B. $\frac{n+1}{2n+1}$
C. $\frac{2(n+1)}{2n+1}$
D. $\frac n{2n+3}$
$S_n=\displaystyle\dfrac1{\log_an}+\dfrac1{\log_{a^2}n}+\dots+\dfrac1{\log_{a^n}n}$ нийлбэрийг ол.
A. $\frac{n(n+1)}2\log_na$
B. $\frac{n(n-1)}2\log_na$
C. $\frac{n(n+1)}2\log_an$
D. $\frac{n(n-1)}2\log_an$
$S_n=\dfrac1{\displaystyle(\log_{a_1}x)^{-1}+(\log_{a_2}x)^{-1}+\dots+(\log_{a_n}x)^{-1}}$-ыг хялбарчил.
A. $\log_{a_1a_2\dots a_n}x$
B. $\frac1{\log_{a_1a_2\dots a_n}x}$
C. $\frac n{\log_{a_1a_2\dots a_n}x}$
D. $-\log_{a_1a_2\dots a_n}x$
$\dfrac{2}{10\cdot 11}+\dfrac{2}{11\cdot 12}+\dots+\dfrac{2}{48\cdot 49}+\dfrac{2}{49\cdot 50}= ?$
A. $\dfrac{7}{150}$
B. $\dfrac{1}{50}$
C. $\dfrac{4}{25}$
D. $\dfrac{2}{75}$
E. $\dfrac{1}{25}$
$\sin\dfrac{\pi}{10}+\sin\dfrac{2\pi}{10}+\sin\dfrac{3\pi}{10}+\dots+\sin\dfrac{19\pi}{10}$ нийлбэрийн утгыг ол.
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $1$
E. $2$
$\dfrac{2}{30\cdot31}+\dfrac{2}{31\cdot32}+\cdots+\dfrac{2}{118\cdot 119}+\dfrac{2}{119\cdot 120}=?$
A. $\dfrac1{12}$
B. $\dfrac1{40}$
C. $\dfrac1{20}$
D. $\dfrac1{24}$
E. $\dfrac1{30}$
$\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dots+\dfrac{1}{99\cdot 101}=?$
A. $\dfrac{1}{101}$
B. $\dfrac{49}{101}$
C. $\dfrac{50}{101}$
D. $\dfrac12$
E. $\dfrac{1}{5050}$
$1+\dfrac12+\dfrac2{2^2}+\dots+\dfrac{10}{2^{10}}$
A. $\dfrac{2047}{2^{10}}$
B. $-\dfrac{2047}{2^{10}}$
C. $-\dfrac{2010}{2^{10}}$
D. $\dfrac{2010}{2^{10}}$
E. $\dfrac{765}{2^{8}}$
$\dfrac{2}{50\cdot 51}+\dfrac{2}{51\cdot 52}+\dots+\dfrac{2}{148\cdot 149}+\dfrac{2}{149\cdot 150}= ?$
A. $\dfrac{4}{75}$
B. $\dfrac{1}{25}$
C. $\dfrac{7}{150}$
D. $\dfrac{2}{75}$
E. $\dfrac{4}{25}$
$\dfrac{2}{40\cdot 41}+\dfrac{2}{41\cdot 42}+\dots+\dfrac{2}{118\cdot 119}+\dfrac{2}{119\cdot 120}= ?$
A. $\dfrac{3}{40}$
B. $\dfrac{1}{40}$
C. $\dfrac{1}{120}$
D. $\dfrac{2}{15}$
E. $\dfrac{1}{30}$
$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(k+1)!}$ дарааллын 3-р гишүүн нь аль нь вэ?
A. $\dfrac{19}{30}$
B. $\dfrac{14}{24}$
C. $\dfrac{17}{24}$
D. $\dfrac{56}{60}$
E. $\dfrac{64}{120}$
$A=\dfrac15+\dfrac45+\dfrac75+\dots+14$; $B=\dfrac{71}{5}+\dfrac{71}{10}+\dfrac{71}{20}+\cdots$ бол $\dfrac{A}{B}=?$
A. $\dfrac{71}{5}$
B. $\dfrac{5}{71}$
C. $\dfrac{12}{5}$
D. $8$
E. $6$
$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dots+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{107}+\sqrt{108}}=?$
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
E. 15
$a_n=\sum\limits_{i=1}^n(2i-1)$ бол $\sum\limits_{k=1}^5 a_n$ хэдтэй тэнцүү вэ?
A. 5
B. 25
C. 30
D. 55
E. 91
$n$ нь $100$-аас хэтрэхгүй натурал тоо бол
$$S(n)=|n-1|+|n-2|+\cdots+|n-100|$$ нийлбэр аль нь вэ?
A. $\dfrac{n(n+1)}{2}$
B. $n^2-101n+5050$
C. $n^2+101n+5050$
D. $5050$
E. $5050-2n$
$\dfrac{1}{\sqrt2+1}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=?$
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $6$
E. $9$
$\sum\limits_{n=1}^{2016}\cos\dfrac{\pi n}{6}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $84-168\sqrt{3}$
E. $168$
$\sum\limits_{n=1}^{2016}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $84-168\sqrt{3}$
E. $168$
$\sum\limits_{n=1}^{10}(2^n-(-1)^n)$ нийлбэрийг ол.
A. $2^{11}-(-1)^{11}$
B. $2^{11}+(-1)^{11}$
C. $2^{11}-2$
D. $2^{11}+2$
E. $2^{11}-1$
$\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{2016\cdot2017}$ нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{2016}{2017}$
B. $\dfrac{2015}{2017}$
C. $\dfrac{2014}{2016}$
D. $\dfrac{2015}{2016}$
E. $\dfrac{1}{2017}$
$\dfrac1{1\cdot5}+\dfrac1{5\cdot9}+\dots+\dfrac1{(4n-3)(4n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{n}{4n+1}$
B. $\dfrac{n+1}{4n+1}$
C. $\dfrac{4(n-1)}{4n+1}$
D. $\dfrac{4n}{4n+1}$
E. $\dfrac{n}{4n-2}$
$\dfrac1{1\cdot6}+\dfrac1{6\cdot11}+\dots+\dfrac1{(5n-4)(5n+1)}$ нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{n}{5n+1}$
B. $\dfrac{n+1}{5n+1}$
C. $\dfrac{5(n-1)}{5n+1}$
D. $\dfrac{5n}{5n+1}$
E. $\dfrac{n}{5n-2}$
$1^2+2^2+\dots+8^2=?$
A. $28$
B. $140$
C. $204$
D. $36$
E. $138$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $0.5$
E. $168$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\cos\dfrac{\pi n}{3}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $0.5$
E. $168$
$2+\dfrac{5}{3}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{11}{27}+\dfrac{14}{81}+\dots+\dfrac{3n+2}{3^n}\dots$ нийлбэрийг ол.
A. $7\dfrac14$
B. $5$
C. $10\dfrac12$
D. $4$
E. $5\dfrac14$
$1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+99\cdot 2^{99}$ нийлбэрийн утга аль нь вэ?
A. $1+99\cdot 2^{100}$
B. $2+99\cdot 2^{99}$
C. $2+98\cdot 2^{101}$
D. $2+98\cdot 2^{99}$
E. $2+98\cdot 2^{100}$
$1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+100\cdot 2^{100}$ нийлбэрийн утга аль нь вэ?
A. $1+99\cdot 2^{101}$
B. $2+100\cdot 2^{100}$
C. $2+99\cdot 2^{102}$
D. $2+99\cdot 2^{100}$
E. $2+99\cdot 2^{101}$
$3+\dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{4}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{11}{16}+\dots+\dfrac{2n+3}{2^n}+\cdots$ нийлбэрийг ол.
A. $7$
B. $10$
C. $12$
D. $4$
E. $7\dfrac34$
$1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,\dots$ дараалал өгөв.
- Энэ дарааллын 70-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
- $N$ тоо 70-р гишүүн хүртэл (70-р гишүүн ороод) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
- Эхний 70 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$.
$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{5n}{n+1}, n=1,2,3\dots$$
бол $a_{30}=\fbox{abc}$ байна.
$$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{3n}{2n+1}, n=1,2,3\dots$$
бол $a_{25}=\fbox{abc}$ байна.
$a_1=2$ ба
$$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}=n, n=2,3,4\dots$$
нөхцлийг хангах дарааллын ерөнхий гишүүн
$a_n=\dfrac{\fbox{a}}{n^{\fbox{b}}+ n -\fbox{c}}$ байна.
$a_1=\sqrt2$ ба
$$\frac{1}{a_n^2}-\frac{1}{a_{n-1}^2}=2n+1, n=2,3,4\dots$$
нөхцлийг хангах эерэг тоон дарааллын ерөнхий гишүүн
$$a_n=\sqrt{\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}\cdot n^2+\fbox{c}\cdot n-\fbox{d}}}$$ байна.
$3,6,9,12,\dots$ гэсэн дараалал өгөгдөв.
а) Дараалсан 5 гишүүний эхний гурван гишүүний квадратуудын нийлбэр нь сүүлийн хоёр гишүүнийхээ квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн $\fbox{ab}$ байна.
б) $3,6,9,12,\dots$ дарааллын $2n+1$ гишүүний эхний $n+1$
гишүүний квадратуудын нийлбэр нь сүүлийн $n$ гишүүний квадратуудын
нийлбэртэй тэнцүү бол голын гишүүн $\fbox{c}\cdot
n^{\fbox{d}}+\fbox{e}\cdot n$ байна.
$5,55,555,5555, \dots $ дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр
$$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot\left(\fbox{de}^{n+1}-\fbox{f}\cdot
n-\fbox{gh}\right) \mbox{ байна}.$$
$4,44,444,4444,\dots $ дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр
$$\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{bc}}\cdot\left(\fbox{de}^{n+1}-\fbox{f}\cdot
n-\fbox{gh}\right) \mbox{ байна}.$$
$75$-аас их $125$-аас бага, 5 хуваарьтай үл
хураагдах бутархайнуудын нийлбэр нь $\fbox{abcde}$ байна.
$53$-аас их $87$-ээс бага, 7 хуваарьтай үл
хураагдах бутархайнуудын нийлбэр нь $\fbox{abcde}$ байна.
Бүх сондгой $1,3,5,7,\dots$ тоонуудыг $n$ дүгээр хэсэгт $n$ ширхэг тоо орсон байхаар дараахь байдлаар хуваав:
$$\{1\},\{3,5\},\{7,9,11\},\dots$$
1) 123 дугаар хэсгийн хамгийн эхний тоо $\fbox{abcd}$ дугаар тоо болно.
2) $35$ дугаар хэсэгт орсон бүх тоонуудын нийлбэр $\fbox{efghi}$
болно.
Бүх тэгш $2,4,6,8,\dots$ тоонуудыг $n$ дүгээр хэсэгт $n$ ширхэг тоо орсон байхаар дараахь байдлаар хуваав:
$$\{2\},\{4,6\},\{8,10,12\},\dots$$
1) 119 дугаар хэсгийн хамгийн эхний тоо $\fbox{abcd}$ дугаар тоо болно.
2) $35$ дугаар хэсэгт орсон бүх тоонуудын нийлбэр $\fbox{efghi}$
болно.
$n$ натурал тоо байхад тэгш өнцөгт координатын
системд $3x+2y=6n$, $x=0$, $y=0$ гэсэн гурван шулуунаар
зааглагдсан гурвалжны дотоод хэсэг болон түүний талууд дээр орших
бүхэл координаттай цэгүүдийн тоо $\fbox{a}\cdot n^2+\fbox{b}\cdot
n+\fbox{c}$ байна.
$n$ натурал тоо байхад тэгш өнцөгт координатын
системд $(0,0),(3n,0),(3n,4n)$ цэгүүд дээр оройтой гурвалжны
дотоод хэсэг болон түүний талууд дээр орших бүхэл координаттай
цэгүүдийн тоо $\fbox{a}\cdot n^2+\fbox{b}\cdot n+\fbox{c}$ байна.
$S_{n}=9+99+999+\dots+\underbrace{99\dots9}_n$ бол
$S_{2016}$ тооны сүүлийн 4 цифрээс тогтох тоо нь нь $\fbox{abcd}$ байна.
$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n^3+\fbox{a}n^2+\fbox{b}n}{\fbox{c}}$
$S_n=\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}$ нийлбэрийг олъё.
$$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=f(n)-f(n+1)$$
бол $f(n)=\dfrac{1}{\fbox{a}}\cdot\dfrac{1}{(n+\fbox{b})(n+\fbox{c})}$ байна.
\begin{align*}
S_n&=\{f(1)-f(2)\}+\{f(2)-f(3)\}+\cdots+\{f(n)-f(n+1)\}\\
&=f(1)-f(n+1)=\dfrac{n^2+\fbox{d}n}{\fbox{e}(n+\fbox{f})(n+\fbox{g})}
\end{align*}
Нийлбэрийн тэмдэглэгээ
Дараах нийлбэрүүдийг ол.
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$
- $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
- $\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$
- $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$
- $\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$
- $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$
$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2-1}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k-1}{k!}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)\cdot3^{k-1}$ нийлбэрийг бод.
$\sum\limits_{k=1}^nk^2\cdot x^{k-1}$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx$ нийлбэрийг ол.
$\sum\limits_{k=1}^n(2k-1)$ нийлбэрийг ол.
$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^2(i\cdot j^2)$ нийлбэрийг бод.
A. $10$
B. $20$
C. $30$
D. $40$
E. $50$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{1}{n(n+1)}=?$
A. $1$
B. $\dfrac{99}{101}$
C. $\dfrac{100}{101}$
D. $\dfrac{99}{100}$
E. $1.01$
% $\prod_n=\left(\dfrac12-1\right)\left(\dfrac13-1\right)\dots\left(\dfrac1{n+1}-1\right)$ үржвэр аль вэ?
A. $\dfrac1n$
B. $\dfrac1{n+1}$
C. $(-1)^n\dfrac1{n+1}$
D. $(-1)^{n+1}\dfrac1{n+1}$
E. $\dfrac{n}{n+1}$
% $\prod_n=\left(1-\dfrac14\right)\left(1-\dfrac19\right)\dots \left(1-\dfrac1{(n+1)^2}\right)$ үржвэр аль вэ?
A. $\frac{n+2}{n+1}$
B. $\frac{n}{2(n+1)}$
C. $\frac{n+1}{2(n+1)}$
D. $\frac{n+2}{2n+2}$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\sin\dfrac{\pi n}{6}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $0.5$
E. $168$
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2017}\cos\dfrac{\pi n}{3}=?$
A. $-168$
B. $84+168\sqrt{3}$
C. $0$
D. $0.5$
E. $168$
Рекуррент дараалал
Дараах дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_1=2$, $a_{n+1}=\dfrac{2a_n+3}{3a_n+2}$, $(n\ge1)$;
- $a_1=-1$, $a_{n+1}=\dfrac{a_n+3}{a_n-1}$, $(n\ge1)$.
Дараах нийлбэрүүдийг ол.
- $\sum\limits_{k=3}^{21}(k-1)(k+3)$;
- $\sum\limits_{k=0}^n k(k+1)(k+2)$;
- $\sum\limits_{k=1}^n(3^k+k^2-3)$;
- $1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+3+\cdots+n)$.
Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_1=3, a_2=7, a_{n+2}=a_{n+1}+2a_{n}, (n\ge1)$
- $a_1=6, a_2=16, a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_{n}, (n\ge1)$
- $a_1=a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}, (n\ge1)$
- $a_1=3, a_2=7, a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_{n}, (n\ge1)$
- $a_1=1, a_2=7, a_{n}=a_{n-1}+2a_{n-2}+1, (n\ge3)$
- $a_1=a_2=2, a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{n-2}^2, (n\ge3)$
- $a_1=\dfrac12, a_2=\dfrac13, a_{n}=\dfrac{a_{n-1}\cdot a_{n-2}}{3a_{n-2}-2a_{n-1}}, (n\ge3)$
Дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=4, a_{n+1}=a_n+2n^2+n$
- $a_1=3, a_{n+1}=a_n+3^n$
- $a_1=5, a_{n+1}=a_n-2^n+n^2-3n+1$
Дараах дарааллуудын ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n+5}, (n\geq 1)$
- $a_1=2, a_{n+1}-3a_n+6a_na_{n+1}=0, (n\geq 1)$
- $a_1=1, a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}\cdot a_n+1, (n\geq 1)$
- $S_n=2a_n-n, (n\geq 1)$
- $S_n=1-a_n, (n\geq 1)$
- $a_1=1$, $a_{n+1}=3a_n+2$ бол ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=2$, $a_{n+1}=5\cdot a_n-5$ бол $a_n$, $S_n$-ийг ол.
- Фибоначчийн дарааллын хувьд $a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}=a_{2n}$ батал.
- $a_1=3, n\geq 2$ үед $a_n=n^2+2a_{n-1}$ бол $a_6$-г ол.
- $a_1=0, a_2=1$ ба $n\geq 3$ үед $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ бол $a_{90}, a_{805}$-г ол.
$a_1=8$, $9^{a_{n+1}}=27\cdot 3^{a_n}$ нөхцлийг хангах $a_n$ дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$10^{-3}>a_n-3$ дараалалд $a_1=2,a_2=2,a_{n+2}\cdot a_{n+1}=a_n^2$ бол $a_n$ ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$, $(n\geq 3)$ дарааллыг Фибоначчийн дараалал гэдэг.
- $a_{10}$-г ол.
- $a_1+a_2+\cdots+a_n=a_{n+2}-1$ болохыг батал.
- $S_8$-г ол.
$a_1=2, n\geq 1$ үед $a_{n+1}=2a_n-3$ томъёогоор өгөгдсөн дараалын хувьд:
- $a_7-$г ол.
- $a_{n+1}-c=2(a_n-c)$ адилтгал бүх $n$-ийн хувьд биелэх $c$-г ол.
- $a_n-c$-тоонууд геометр прогресс болохыг баталж ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_n$-ийн ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=1, a_{n+1}=2a_n-3n+1, n\geq 1$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_1=6, a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}, (n\geq 1)$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_1=3, a_{n+1}=2\cdot a_n^3, (n\geq 1)$ бол ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_1=1, a_{n+1}=\displaystyle\dfrac{a_n}{2a_n+3}$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
- $a_1=2, a_{n+1}=2a_n+2\displaystyle\dfrac{a_n}{n}$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
- $a_n$-дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n$ ба $S_n=3a_n-n-1$ бол $a_n$-дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_1=1, a_2=4, a_{n+2}=7\cdot a_{n+1}-10 a_n, (n=1, 2, 3,\ldots)$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
$a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n, (n\ge1)$ дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог ол.
$a_1=3, a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}, (n\ge1)$ дарааллын ерөнхий гишүүнийг ол.
$x_1=\displaystyle\frac 12; x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-x_n},\ n\in\mathbb N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
A. $\dfrac{n-1}{n+1}$
B. $\dfrac{n}{n+1}$
C. $\dfrac{n}{2n-1}$
D. $\dfrac{1}{2^n}$
E. $\dfrac{n}{2^n}$
$x_1=0, x_2=1, x_{n+2}=\displaystyle\frac{3x_{n+1}-x_n}{2}; n\in N$ бол дарааллын ерөнхий гишүүнийг бич.
A. $5-2^{2-n}$
B. $2^{2-n}$
C. $2-2^{2n}$
D. $2-2^{2-n}$
E. $2-2^n$
$a_1=4, n\geq 1$ үед $a_{n+1}=\dfrac{4a_n-9}{a_n-2}$ дараалалын $6a_6-5a_5$-г ол.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$a_1=3, n\geq 1$ үед $a_{n+1}=\dfrac{3a_n-4}{a_n-1}$ дараалалын $6a_6-5a_5$-г ол.
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$a_{n+1}=2a_n+3$ дарааллын $a_1=1$ бол $a_4=?$
A. $29$
B. $11$
C. $12$
D. $20$
E. $13$
$a_{n+1}=a_n-3$ дарааллын $a_1=100$ бол $a_{21}=?$
A. $40$
B. $37$
C. $43$
D. $63$
E. $60$
$a_{n+1}=2a_n+1$ дарааллын $a_1=1$ бол $a_4=?$
A. $9$
B. $7$
C. $15$
D. $31$
E. $14$
$a_n=2a_{n-1}+3$, $a_1=1$ дараалал өгөгдөв. $b_n=a_n-\fbox{ab}$ дараалал геометр прогресс болох бөгөөд хуваарь нь $\fbox{c}$ байна. $b_1= \fbox{d}$ тул $b_n=\fbox{e}\cdot\fbox{f}^{n-1}$. Иймд $a_n=\fbox{g}^{n+1}-\fbox{h}$ байна.
$a_1=1$, $a_{n+1}=3a_n+2$, $n=1,2,3,\dots$ дараалал өгөгдөв.
- Хэрэв $b_n=a_n+T$ ба $b_{n+1}=3b_n$, $n=1,2,3\dots$ бол $T=\fbox{a}$.
- $b_n=\fbox{b}\cdot 3^{n-1}$ ба $a_n=\fbox{c}\cdot 3^{n-1}-\fbox{d}$.
- $a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\fbox{e}\cdot\fbox{f}^n-\fbox{g}\cdot n-\fbox{h}$.
$a_1=10$ ба $n\geq 1$ үед $a_{n+1}=(a_n)^3$ нөхцөлөөр
тодорхойлогдох дарааллын $n$ дүгээр гишүүн
$a_n=\fbox{ab}^{\fbox{c}^{n-1}}$ байна.
$a_1=2$ ба $n\geq 1$ үед $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$
нөхцлөөр тодорхойлогдох дарааллын $n$ дүгээр гишүүн
$a_n=\fbox{a}^{\left(\fbox{b}/\fbox{c}\right)^{n-\fbox{d}}}$
байна.
$n\in \mathbb{N}$ хувьд $\{a_n\}, \{b_n\}$ дарааллууд
$$a_n=b_n+2n+p , 2b_{n+1}=b_n+qn-5$$
тэнцэтгэлүүдийн хангана. Энд $p, q$ тогтмол тоонууд ба $b_1=-2$ байг.
- $a_3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\cdot q+\fbox{c}\cdot p+\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}$ байна.
- $\{a_n\}$ нь хуваарь нь $\dfrac 12$-тэй тэнцүү геометр прогресс болох бол $p=\fbox{f} , q=\fbox{gh}$ байна. Эндээс $$b_n=\left(\dfrac 12\right)^{n-1}-\fbox{i}\cdot n-\fbox{j}$$
$n\in \mathbb{N}$ хувьд $\{a_n\}, \{b_n\}$ дарааллууд
$$a_n=b_n+q\cdot n+2 , 3b_{n+1}=b_n+4n+p$$
тэнцэтгэлүүдийн хангана. Энд $p, q$ тогтмол тоонууд ба $b_1=2$ байг.
а) $a_3=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}p+\fbox{c}\cdot q+\fbox{de}$ байна.
б) $\{a_n\}$ нь хуваарь нь $\dfrac 13$ байх геометр прогресс болох
бол $p=\fbox{f} , q=\fbox{gh}$ байна. Эндээс
$$b_n=6\cdot \left(\dfrac 13\right)^{n-1}-\fbox{i}\cdot n-\fbox{j}$$
Өгөгдсөн $\{b_n\}$ дарааллын гишүүн тус бүрээс $c$ тоог хасвал хуваарь нь 2 байх геометр прогресс үүснэ.
- $b_3=7$, $b_4=11$ бол $c=\fbox{a}$, $b_1=\fbox{b}$ байна.
- $\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=\fbox{cdef}$ байна.
Өгөгдсөн $\{a_n\}$ дарааллын гишүүн тус бүрийг $c$ тоогоор үржүүлбэл ялгавар нь 2 байх арифметик прогресс үүснэ.
- $a_3=8$, $a_9=12$ бол $c=\fbox{a}$, $a_1=\dfrac{\fbox{bc}}{\fbox{d}}$ байна.
- $\sum\limits_{k=1}^{10}a_k=\dfrac{\fbox{efg}}{\fbox{h}}$ байна.
$AC=2, BC=3$ талуудтай $ACB$ тэгш өнцөгт гурвалжин дотор зурагт үзүүлснээр $S_1, S_2, S_3, \dots $ квадратуудыг байрлуулж, талуудыг харгалзан $a_1,a_2,a_3,\dots$ гэж тэмдэглэе.
1) Гурвалжны төсөөтэйн харьцаа ашиглавал $a_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ байна.
2) $\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_{n+1}}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$, $n=1,23,\dots$ болно.
3) Эдгээр квадратуудын талбайн нийлбэр
$S=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$ байна.
$AC=4$ байх $ACB$ тэгш өнцөгт гурвалжин дотор зурагт үзүүлснээр $S_1, S_2, S_3, \dots $ квадратуудыг байрлуулж, талуудыг харгалзан $a_1,a_2,a_3,\dots$ гэж тэмдэглээд $BC=d$ гэе.
1) Гурвалжны төсөөтэйн харьцаа ашиглан, $a_1$-ийг $d$-ээр илэрхийлж бичвэл $a_1=\dfrac{\fbox{a}d}{\fbox{b}+d}$ байна.
2) $\dfrac{a_n-a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\fbox{c}}{d}$, $n=1,23,\dots$ болно.
3) $S_1, S_2, S_3, \dots $ квадратуудын талбайн нийлбэр
$S=\dfrac{18}{5}$ бол $d=\fbox{e}$ байна.
$a_{n+1}=2a_n-1, n\geq 1$ рекуpрент харьцаагаар $\{a_n\}$ дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь $a_n=\fbox{a}^{n-1}\cdot(a_1-\fbox{b})+\fbox{c}$ болно.
$a_{n+1}=2a_n+1, n\geq 1$ рекурpент харьцаагаар $\{a_n\}$ дараалал өгөгдсөн бол ерөнхий гишүүн нь $a_n=\fbox{a}^{n-1}\cdot(a_1+\fbox{b})-\fbox{c}$ болно.
$a_1,a_2,a_3,\dots$ дарааллын эхний $n$ гишүүний нийлбэр $S_n$ ба $$S_n=4n+\dfrac12-\dfrac12a_n$$
байсан бол
- $a_1=\fbox{a}$,
- $a_{n+1}=\dfrac{1}{\fbox{b}}(a_n+\fbox{c})$,
- $a_n=\fbox{d}-\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}^{n-1}}$ байна.
Тоон дарааллын хязгаар
$a_1=\dfrac12$, $a_2=\dfrac56$ бөгөөд $n\ge 3$ дугаарын хувьд $a_n=a_{n-2}+\dfrac{4}{3^{n-1}}$ гэсэн рекуррент томьёогоор өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $-2$
E. $-1$
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр
Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн эхний гишүүн 2, хуваарь $\dfrac12$ бол бүх гишүүдийнх нь нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Төгсгөлгүй нийлбэр ба цувааны нийлэлт
Дараах цуваануудын аль нь нийлдэг цуваа вэ?
I. $-1+1-1+\cdots+(-1)^n+\cdots$
II. $\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}+\cdots$
III. $1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{n}+\cdots$
IV. $1+2+3+\cdots+n+\cdots$
V. $1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{3^{n-1}}+\cdots$
I. $-1+1-1+\cdots+(-1)^n+\cdots$
II. $\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}+\cdots$
III. $1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac{1}{n}+\cdots$
IV. $1+2+3+\cdots+n+\cdots$
V. $1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{3^{n-1}}+\cdots$
A. I, II
B. III, IV
C. II, III
D. II, V
E. II, III, V
$a_n=-\dfrac{3}{4^n}$ ерөнхий гишүүнтэй дарааллаар үүсэх цувааны нийлбэрийг ол.
A. $3$
B. $-3$
C. $-4$
D. $-1$
E. $1$
$\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}$ рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад $x^3$-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $4$
B. $\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{7}{4}$
D. $\dfrac{15}{8}$
E. $\dfrac{59}{16}$
$\dfrac{3+x}{x^2-3x+2}$ рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад $x^4$-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $3\dfrac{27}{32}$
B. $3$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{25}{8}$
E. $\dfrac{59}{16}$
$\dfrac{1}{(x-3)(x-2)(x-1)}$ илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад $x^2$-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $1$
B. $\dfrac{11}{36}$
C. $\dfrac{85}{216}$
D. $-\dfrac{11}{36}$
E. $-\dfrac{85}{216}$
$\dfrac{1}{(x-2)^2}$ илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад $x^3$-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ?
A. $0$
B. $1$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\dfrac{1}{4}$
E. $\dfrac{1}{8}$
$\sqrt[3]{8-2x}$ илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад 4-р гишүүн нь аль илэрхийлэл байх вэ?
A. $x^4$
B. $-\dfrac{5}{2592}x^3$
C. $\dfrac{85}{216}x^4$
D. $-\dfrac{5}{5184}x^3$
E. $\dfrac{5}{2592}x^4$
$\dfrac{x+1}{x^2-4x+3}$ рационал бутархайг зэрэгт цуваанд задлахад $x^5$-ийн өмнөх коэффициент $\dfrac{m}{n}$ ба $m$, $n$ харилцан анхны натурал тоонууд байв. $n-m$ тоог ол.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $4$