бодолтгүй   

1. Натурал $n$ тооны хувьд $n=a\cdot b$ байх натурал $a$, $b$ тоонуудын нийлбэрийн авч болох хамгийн бага утгыг $T_n$ гэж тэмдэглэе. Жишээ нь $T_4=2+2=4$, $T_{20}=4+5=9$ юм. Натурал $k$ тоо өгөгджээ. $T_n=T_{n+k}$ байх натурал $n$ тоо төгсгөлгүй олон гэдгийг батал.

2. $x$, $y$, $z$ эерэг бодит тоонууд ба $a$, $b$, $c$ гурвалжны талууд бол $$\dfrac{x+y}{cz}+\dfrac{y+z}{ax}+\dfrac{z+x}{by}\ge \dfrac{2\sqrt{3}}{R}$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

3. $\omega$ тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжин дотор $P$ цэгийг сонгон авчээ. $AP$ шулуун $\omega$ тойргийг дахин $X$ цэгт, $BP$ шулуун $\omega$ тойргийг дахин $Y$ цэгт огтлох бөгөөд $AY$, $CX$ шулуунууд $Z$ цэгт огтлолцоно. $PZ$ шулуун $BCP$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $P$ цэгээс ялгаатай $Q$ цэгт огтолдог бол $APQ$ гурвалжныг багтаасан тойрог нь $\omega$ тойргийг шүргэхийг батал.

4. $100\times 100$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдэд натурал тоонууд бичээд, мөр бүрийн ард уг мөрөнд бичигдсэн тоонуудын нийлбэрийг, багана бүрийн дор уг баганад бичигдсэн тоонуудын нийлбэрийг бичжээ. Бичсэн бүх 10200 ширхэг тоо нь ялгаатай бүтэн квадрат тоонууд байж болох уу?