бодолтгүй   

1. $ABC$ гурвалжин дотор $T$ цэг оршино. $T$ цэгийн $BC$, $CA$, $AB$ шулуунуудын хувьд тэгш хэмтэй цэгүүд нь харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$ байг. $A_1B_1C_1$ гурвалжныг багтаасан тойргийг $\Omega$ гэе. $TA_1$, $TB_1$, $TC_1$ шулуунуудын тойргийг огтлох шинэ цэгүүд $A_2$, $B_2$, $C_2$ бол $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцох ба тэр цэг нь $\Omega$ тойрог дээр оршино гэж батал.

2. $\{1,2,\ldots,N\}$ олонлогийн элементүүдийг $k$ өнгөөр дураараа будахад $$x_1+x_2+\cdots+x_n=x_{n+1}$$ тэгшитгэл нэг ижил өнгөтэй, хоорондоо тэнцүү биш $x_1,x_2,\ldots,x_n$ шийдтэй байх хамгийн бага $N$ тоог Шурын $k$-өнгөт эрс тоо гээд $WS_n(k)$ гэж тэмдэглэдэг. Тэгвэл $n$, $k\ge 2$ үед $$WS_n(k)\ge q(n)n^{k-2}-p(n)$$ болохыг батал. Энд $q(n)=(n+3)\Delta_n-1$, $p(n)=\Delta_n+2n-1$, $\Delta_n=n(n+1)/2$. Сонирхуулахад нэрт математикч П. Энхболд 1986 онд $WS_2(k)\le e\cdot k\cdot k!+1$ болохыг гайхамшигтай баталсан байдаг.

3. $G$ нь $n$ оройтой яг нэг цикл агуулсан, уул циклийн урт нь $k$ ба цикл дээрх оройн зэргүүдийн нийлбэр нь $S$ байх холбоост граф бол $$\sum_{uv\in E} (d(u)-1)(d(v)-1)\ge S+n-2k$$ болохыг батал. Энд $E$ нь $G$ графын ирмэгүүдийн олонлог, $uv$ нь $u$ ба $v$ оройд төгсгөлтэй ирмэг, $d(u)$ нь $u$ оройн зэрэг.

4. $S(x)$-ээр эерэг бүхэл $x$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг тэмдэглэе. Тэгвэл $$S(2^n)>\dfrac{1}{\log_4\log_210}\cdot \log_4n$$ болохыг батал. Сануулахад $1/\log_4\log_210>1.15$ юм.