Энхболд XV, 9-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 210 мин
1. $x$, $y$, $z$ нь $x+y+z=6$ байх эерэг тоонууд бол
$$x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2\ge 6xyz-12$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. Коши болон Чебышебийн тэнцэтгэл биш ашигла.
Бодолт. $$xy^2+yz^2+zx^2\ge3\sqrt[3]{xy^2\cdot yz^2\cdot zx^2}=3xyz$$
тул
$$x^2+y^2+z^2\ge 3xyz-12$$
гэж батлахад хангалттай. Нөгөө талаас
$$6=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow 8\ge xyz$$
байна. Иймд
$$x^2+y^2+z^2\ge 3\cdot 8 -12=12$$
гэж батлах шаардлагатай. Үнэндээ Чебышевийн тэнцэтгэл бишээр
$$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^2=2^2=4$$
тул батлах зүйл батлагдав. Тэнцэтгэл биш $x=y=z=2$ үед тэнцэлдээ хүрнэ.
2. $\angle BAC=48^\circ$, $\angle CAD=16^\circ$, $\angle CBD=30^\circ$ байх гүдгэр $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгджээ. $AB=AD$ бол $\angle ACD$ өнцгийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. $ADE$ зөв гурвалжин байхаар $E$ цэг ав.
Бодолт.
$\angle EAD=60^\circ$ гэдгээс $\angle BAE=4^\circ$ болох ба
$AD=AB=AE$ тул $\angle ABE=\angle AEB=88^\circ=\angle ABC$ болох тул $E$ цэг $BC$ тал дээр орших болно.
Иймд $\angle AEC=180^\circ-\angle AEB=92^\circ$ болно.
Нөгөө талаас $\angle EAC=44^\circ$ болох тул $\angle ACE=180^\circ-\angle EAC-\angle AEC=180^\circ-92^\circ-44^\circ=44^\circ$ болох тул $AE=EC$ болов. $AE=ED$ тул $ED=EC$ болно. Иймд $\angle ECD=90^\circ-16^\circ=74^\circ$ ба $\angle ACE=44^\circ$ тул $\angle ACD=30^\circ$ болно.
Нөгөө талаас $\angle EAC=44^\circ$ болох тул $\angle ACE=180^\circ-\angle EAC-\angle AEC=180^\circ-92^\circ-44^\circ=44^\circ$ болох тул $AE=EC$ болов. $AE=ED$ тул $ED=EC$ болно. Иймд $\angle ECD=90^\circ-16^\circ=74^\circ$ ба $\angle ACE=44^\circ$ тул $\angle ACD=30^\circ$ болно.
3. Натурал $n$ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг $S(n)$ гэж тэмдэглэе. $S(n)=S(5n)-2018$ байх хамгийн бага натурал $n$ тоог ол.
4. Зөв $n$ өнцөгтийг үл огтлолцох диагоналууд татаж $n-2$ ширхэг гурвалжинд хуваажээ. Олон өнцөгтийн орой бүр дээр уг оройд оройтой гурвалжны тоог бичжээ. Бичсэн бүх тоо нь сондгой байж болдог бүх $n$ тоог ол.