Энхболд XV, 3-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 120 мин
1. $\overline{\text{ХАР}}+\overline{\text{ШАР}}=8\times\overline{\text{БАР}}$ үсэгт тааврыг бод. Ижил үсэг ижил цифр, ялгаатай үсэг ялгаатай цифрийг төлөөлнө.
Заавар Бодолт
Заавар. $\text{Б}\le 2$ байна. $6\times\overline{\text{АР}}$ нь 2 тэгээр төгссөн тоо байна.
Бодолт. А ба Р үсгүүд нь ялгаатай бөгөөд $6\times\overline{\text{АР}}$ нь 2 тэгээр төгссөн тоо тул $\overline{\text{АР}}=50$ байна.
$\text{Б}=1$ бол $8\times 150=1200$ ба $2\times\overline{\text{АР}}=100$ тул $\text{X}+\text{Ш}=11$ байна. Эдгээр нь $0$, $5$-аас ялгаатай байх ёстой тул $$2+9=3+8=4+7$$ буюу $250+950=8\times 150$, $350+850=8\times 150$, $450+750=8\times 150$, $750+450=8\times 150$, $850+350=8\times 150$, $950+250=8\times 150$ гэсэн шийд гарна.
$\text{Б}\ge 2$ бол $8\times 250=2000>\overline{\text{ХАР}}+\overline{\text{ШАР}}$ тул шийд олдохгүй.
$\text{Б}=1$ бол $8\times 150=1200$ ба $2\times\overline{\text{АР}}=100$ тул $\text{X}+\text{Ш}=11$ байна. Эдгээр нь $0$, $5$-аас ялгаатай байх ёстой тул $$2+9=3+8=4+7$$ буюу $250+950=8\times 150$, $350+850=8\times 150$, $450+750=8\times 150$, $750+450=8\times 150$, $850+350=8\times 150$, $950+250=8\times 150$ гэсэн шийд гарна.
$\text{Б}\ge 2$ бол $8\times 250=2000>\overline{\text{ХАР}}+\overline{\text{ШАР}}$ тул шийд олдохгүй.
2. Шулуун дээр 4 цэг тэмдэглэсэн байв. Цэг бүр дээр уг цэгээс бусад гурван цэг хүртэлх зайн нийлбэрийг бичжээ. Гурван цэг дээр 29 см, 35 см, 37 см гэж бичигдсэн бол үлдсэн цэг дээр хэд бичигдсэн бэ? Цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. Голын хоёр цэг дээр ижил тоо бичигдэнэ гэдгийг харуул.
Бодолт. 
зургаас харахад $A$ цэг дээр
$$AB+AC+AD=AB+(AB+BC)+(AB+BC+CD)=3AB+2BC+CD$$
$B$ цэг дээр
$$AB+BC+BD=AB+BC+(BC+BD)=AB+2BC+CD$$
$C$ цэг дээр
$$AC+BC+CD=(AB+BC)+BC+CD=AB+2BC+CD$$
$D$ цэг дээр
$$AD+BD+CD=(AB+BC+CD)+(BC+CD)+CD=AB+2BC+3CD$$
тоо бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэр хамгийн бага тоо 2 дахин бичигдсэн байх ёстой. Иймд үлдсэн нэг тоо нь 29 см байна.
$A$ дээр 37 бичигдсэн, $B$ ба $C$ цэгүүд дээр 29 бичигдсэн, $D$ цэг дээр 35 бичигдсэн гэе. $A$ ба $B$ цэгүүд дээр бичигдсэн тоонуудын зөрөө нь $2AB=37-29=8$ тул $AB=4$, $D$ ба $C$ цэгүүд дээр бичигдсэн тоонуудын зөрөө $2CD=35-29=6$ тул $CD=3$ болно. $A$ дээр бичигдсэн тоо нь $$3AB+2BC+CD=3\cdot 4+2BC+3=37$$ тул $BC=11$ байна.
$A$ дээр 37 бичигдсэн, $B$ ба $C$ цэгүүд дээр 29 бичигдсэн, $D$ цэг дээр 35 бичигдсэн гэе. $A$ ба $B$ цэгүүд дээр бичигдсэн тоонуудын зөрөө нь $2AB=37-29=8$ тул $AB=4$, $D$ ба $C$ цэгүүд дээр бичигдсэн тоонуудын зөрөө $2CD=35-29=6$ тул $CD=3$ болно. $A$ дээр бичигдсэн тоо нь $$3AB+2BC+CD=3\cdot 4+2BC+3=37$$ тул $BC=11$ байна.
3. 9 цэгийг зурагт үзүүлснээр дугаарлажээ. Хүү 3 оройн дугаарын нийлбэр нь сондгой байдаг гурвалжнуудыг, харин охин 3 оройн дугааруудын нийлбэр нь тэгш байдаг гурвалжнуудыг тоолжээ. Хэн нь хэдээр олон гурвалжин тоолсон бэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Боломжит гурвалуудаас гурвалжин болохгүй гурвалуудыг хасаж бод.
Бодолт. $\text{ССС}$ хэлбэрийн гурвалжны тоо $C_5^3-1=9$, $\text{ССТ}$ хэлбэртэй гурвалжны тоо $C_5^2\cdot C_4^1-2-2-3=33$, $\text{СТТ}$ хэлбэрийн гурвалжин $C_5^1C_4^2-2-2=26$, $\text{TTT}$ хэлбэрийн гурвалжны тоо $C_4^3=4$ байна. Иймд сондгой гурвалжны тоо $9+26=35$, тэгш гурвалжны тоо $33+4=37$ байна. Тэгш гурвалжны тоо сондгой гурвалжны тооноос 2-оор олон.
4. Компьютерийн дэлгэц дээр хэдэн улаан, хөх цэг байжээ. Минут тутам тэдний яг 3 нь өнгөө сольдог (улаан нь хөх болно, хөх нь улаан болно). Дэлгэц дээр эхлээд улаан цэг нь 5 байв. Минутын дараа харахад хөх цэг нь 8 болсон байв. Дахин 1 минутын дараа харахад улаан цэг нь 9, дахин нэг минутын дараа харахад хөх цэг нь 2 болсон байжээ. Дэлгэц дээр нийт хэдэн цэг байгаа вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Нэг өнгийн цэгийн тоо 1 минутад хамгийн ихдээ 3-аар, 2 минутад хамгийн ихдээ 6-аар цөөрөх боломжтой. Хэрвээ 6-аар цөөрсөн бол тухайн өнгийн цэгүүд л өнгөө солисон байх боломжтой.
Бодолт. Хөх цэгийн тоо сүүлийн 2 минутад 8-аас 2 болж буурсан тул сүүлийн 2 үйлдлээр зөвхөн хөх өнгийн цэгүүд улаан болжээ. Иймд 3 дахь минутад 2 хөх, 2 дахь минутад 5 хөх цэг байжээ. 2 дахь минутад 9 улаан цэг байсан тул нийт $5+9=15$ цэг байжээ.