Энхболд XV, 6-р анги

бодолтгүй   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 150 мин


1. $\overline{abc}+\overline{cba}$ нийлбэр нь зөвхөн сондгой цифрээр бичигдсэн тоо гардаг хэдэн ялгаатай гурван оронтой $\overline{abc}$ тоо олдох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. Аль оронг нэмэхэд орон санаж байгааг ол.

Бодолт. $a+c>10$ ба $a+c$ нь сондгой тоо байна. Мөн $b+b<10$ байх ёстой. $a+c>10$ ба $a+c$ сондгой байх хосууд нь $a=2$ үед $c=9$, $a=3$ үед $c=8$, $a=4$ үед $c=9$, $c=7$ гэх мэтчилэн нийт 20 ширхэг байна. $b+b<10$ байх нь $b=0,\ldots,4$ тул $5$ боломжтой. Иймд нийт $20\cdot 5=100$ ширхэг тоо байна.


2. $n\ge 35$ бол $n\times n$ хэмжээтэй квадратыг $2\times4$ ба $3\times 5$ хэмжээтэй тэгш өнцөгтүүдэд шугамын дагуу хувааж болохыг батал.


3. Өгсөн натурал тоо яг 18 ширхэг ялгаатай хуваагчтай. Хуваагчдыг нь өсөх эрэмбээр эрэмбэлэхэд 8-р хуваагч нь 28-тай тэнцүү, 10-р хуваагч нь 9-р хуваагчаас 39-өөр их байв. Ийм бүх тоог ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}$ (каноник задаргаа) бол $n$ тооны натурал хуваагчдын тоо нь $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_s+1)$$ байдаг.

Бодолт. Өгсөн тоог $n$ гэе. $28$-ийн хуваагчид нь $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, $28$ ба эдгээр нь $n$ тооны хуваагчид байна.

Өгсөн тоо зөвхөн $2$, $7$ гэсэн анхны тоон хуваагчтай бол $18$ хуваагчтай байхын тул $n=2^5\cdot 7^2$ эсвэл $n=2^2\cdot 7^5$ байна. $n=2^5\cdot 7^2$ үед түүний $9$-р хуваагч нь $32$, $10$-р хуваагч нь $49$ бөгөөд ялгавар нь $39$-тэй тэнцүү биш юм. Мөн $n=2^2\cdot 7^5$ үед $8$-р хуваагч нь $28$-аас ялгаатай байна.

Иймд өгсөн тоонд $2$, $7$-оос ялгаатай өөр $p$ гэсэн анхны тоон хуваагч байдаг гэе. Тэгвэл $18$ хуваагчтай байхын тулд $n=2^2\cdot 7^2\cdot p$, $n=2^2\cdot 7\cdot p^2$, $n=2\cdot 7^2\cdot p^2$ байх шаардлагатай ба сүүлийнх нь $28$-д хуваагдахгүй тул боломжгүй юм. Иймд $n=2^2\cdot 7^2\cdot p$ эсвэл $n=2^2\cdot 7\cdot p^2$ хэлбэртэй болов. Аль ч тохиолдолд $p$ ба $2p$ нь $28$-аас бага ба $4p$ нь $28$-аас их байна. Иймд $p$ нь $7 < p < 14$ байх анхны тоо буюу $p=11$ эсвэл $p=13$ байх боломжтой. Боломижт 4 тохиолдлыг шалгаж үзье.

$n=2^2\cdot 7^2\cdot 11$ үед $9$-р хуваагч нь $44$, $10$-р хуваагч нь $49$ тул шийд биш. $n=2^2\cdot 7^2\cdot 13$ үед $9$-р хуваагч нь $49$, $10$-р хуваагч нь $52$ тул мөн л шийд болж чадахгүй.

$n=2^2\cdot 7\cdot 11^2$ үед $9$-р хуваагч нь $44$, $10$-р хуваагч нь $77$ тул шийд биш. $n=2^2\cdot 7\cdot 13^2$ үед $9$-р хуваагч нь $52$, $10$-р хуваагч нь $91$ ба зөрөө нь $39$ тул $n=2^2\cdot 7\cdot 13^2=4732$ тоо бодлогын шийд болно. Боломжит бүх тохиолдлыг шалгаж үзсэн тул үүнээс өөр шийд байхгүй.


4. Хэсэг тус бүрд орсон тоонуудын үржвэр нь харилцан анхны байхаар $1,2,\dots,49,50$ тоонуудыг 2 хэсэгт хэдэн ялгаатай аргаар хувааж болох вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. $2$ тоо заавал нэг хэсэгт орох тоонуудыг ол.

Бодолт. $2$-д хуваагддаг бүх тоонууд $2$-той нэг хэсэгт орох ёстой. Иймд $2\cdot 3$, $2\cdot 5$, $2\cdot 7$, $2\cdot 11$, $2\cdot 13$, $2\cdot 17$, $2\cdot 19$, $2\cdot 23$ тоонууд $2$-той нэг хэсэгт орно. Эндээс $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$ гэсэн $25$-аас бага бүх анхны тоонд хуваагддаг тоонууд $2$-той нэг хэсэгт орох болов. Эдгээр нь $25$-аас их анхны тоонууд буюу $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$ ба $1$ юм. Учир нь эдгээрээс бусад бүх зохиомол тоонд $7$-оос хэтрэхгүй анхны тоон хуваагч бий. Эдгээр $7$ тоонууд нь $2$-той нэг хэсэгт орсон, ороогүй байхаар хуваах ялгаатай аргын тоо нь $2^7-1=127$ (бүх тоо нэг хэсэгт байж болохгүй) эдгээр хуваалтын хувьд хэсэг тус бүрд байгаа тоонуудын үржвэр нь харилцан анхны байна. Иймд $127$ ялгаатай аргаар хувааж болно.