Сайн гараа 2018, 12-р анги

Сайн гараа 12-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: мин


1. $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ нь $ABC$ хурц өнцөгт гурвалжны өнцгүүд бол \[ \frac{\sin 2\alpha+\sin 2\beta +\sin 2\gamma}{\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma}\le \sqrt{3} \] тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ ашиглан задлаад Чебышевийн тэнцэтгэл биш ашиглан хялбарчил.

Бодолт. \begin{align*} \text{ЗГТ}&=\frac{\sin 2\alpha+\sin 2\beta +\sin 2\gamma}{\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma}\\ &=\dfrac{2\sin\alpha \cos \alpha+2\sin\beta \cos \beta+2\sin\gamma \cos \gamma}{\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma}\\ &\le\dfrac{2(\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma)(\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma)}{3(\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma)} & \leftarrow & Чебышев\\ &=\dfrac23(\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma)\\ &= 2\left(\dfrac{1}{3}\sin\alpha+\dfrac13\sin\beta+\dfrac13\sin\gamma\right)\\ &\le 2\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=2\sin60^\circ & \leftarrow &Йенсен\\\ &= \sqrt{3} \end{align*} болж батлагдав.


2. $n^n+1$ тоо төгс тоо байх бүх $n$-ийг ол.


3. Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиудын огтлолцлын цэг $O$ байг. $ABO$, $COD$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргууд $O$ цэгээс ялгаатай $K$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $BLC$ ба $AKD$ гурвалжнууд төсөөтэй байхаар $L$ цэгийг $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн гадна авсан бол $BLCK$ дөрвөн өнцөгтөд тойрог багтааж болохыг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. $L$ цэгийг $BC$-ийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүсэх цэгийг $L'$ цэгийг авч үз.

Бодолт. $K$ цэгийг $AOD$ гурвалжин дотор байна гэе. Бусад тохиолдолд адил.
$L$ цэгийг $BC$-ийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад үүсэх цэгийг $L'$ гэе. $$\measuredangle L'BO=\measuredangle OBC-\measuredangle L'BC$$ ба $\measuredangle OBC=\measuredangle OAD$ тул $$\measuredangle L'BO=\measuredangle OAD-\measuredangle KAD=\measuredangle OAK=\measuredangle OBK$$ болов. Яг адилаар $\measuredangle L'CO=\measuredangle OCK$ болно. Мөн $$\measuredangle BKO=\measuredangle BAO=\measuredangle ODC=\measuredangle OKC$$ болно. $BL'\cup CK=N$, $CL'\cap BK=M$ гэе.

$CO$, $BO$, $KO$ нь $\measuredangle KCM$, $\measuredangle KBN$, $\measuredangle MKN$-ийн биссектрисүүд болохыг дээр баталсан. Иймд $O$ нь $BNK$, $CMK$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв болох тул $\measuredangle L'NO=\measuredangle ONK$, $\measuredangle L'MO=\measuredangle OMK$ болно. Иймд $O$ цэгээс $ML'WK$ дөрвөн өнцөгтийн талууд хүртэлх зайнууд тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл $ML'NK$ дөрвөн өнцөгт тойрог багтаана.

$ML'$, $L'N$, $NK$, $KM$ талуудыг шүргэх цэгүүдийг $P$, $Q$, $R$, $T$ гэвэл \begin{align*} CK+BL'&=(CR+KR)-(BQ-L'Q)\\ &=CP+KT+BT-L'P\\ &=(KT+BT)+(PC-L'P)\\ &=BK+CL' \end{align*} тул $CK+BL=BK+CL$ болж батлагдав.


4. $m\geq n \geq 3$ байх натурал тоонууд өгсөн ба $m\times n$ хүснэгтийн $n$-ээс их $k$ тооны нүдийг буджээ. Нэг мөр эсвэл нэг багананд байгаа хоёр будагдсан нүдний аль нэг нүдний будгийг арилгадаг үйлдэл өгөв. $k$ ширхэг будагдсан нүдтэй аливаа өгсөн байрлалаас үйлдэл хийж чадахгүй болтол үйлдэл хийхэд үлдэх хамгийн бага одны тоог $N(k)$ гэе. Тэгвэл $N(k)$-ийн авч болох хамгийн их утгыг ол.