Сайн гараа 2018, 11-р анги

Сайн гараа 11-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: мин


1. $P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2}$ ба $P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5}$ байх бүхэл коэффициенттэй $P(x)$ олон гишүүнт олдох уу?

Заавар Бодолт
Заавар. $Q(x)=P(x+1)-x-1$ олон гишүүнтийн нэг язгуур нь $\sqrt[3]{2}$ болохыг ашигла.

Бодолт. Т. Базарын ирүүлсэн бодолт.

Эсрэгээс нь бодлогын нөхцөлийг хангах $P(x)$ гишүүнт олддог гээд зааварт өгөгдсөн $Q(x)$ олон гишүүнтийг авч үзье. Безугийн теоремоор $Q(x)$ нь $x-\sqrt[3]{2}$-д хуваагдах бөгөөд $x^3-2$ нь $\mathbb Q[x]$ дээр үл задрах тул $Q(x)=(x^3-2)S(x)$ байна. Нөгөө талаас $P(x)=Q(x-1)+x$ тул $$P(1+\sqrt5)=Q(\sqrt5)+1+\sqrt5=2+3\sqrt5$$ байна. Иймд $Q(\sqrt5)=1+2\sqrt5$ болов. Нөгөө талаас $Q(\sqrt5)=(5\sqrt5-2)S(\sqrt5)$ тул $$(5\sqrt5-2)(a+b\sqrt5)=1+2\sqrt5$$ байх $a$, $b$ бүхэл тоонууд оршин байх ёстой. Эндээс $$\left\{\begin{array}{l}-2a+25b=1\\ \phantom{-}5a-\phantom{5}2b=2\end{array}\right.\Leftrightarrow a=\dfrac{52}{121},\ b=\dfrac{9}{121}$$ болж зөрчил үүсэв. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах $P$ олон гишүүнт олдохгүй.


2. $n$ натурал тоо ба $1=d_1< d_2<\dots< d_k=n$ нь $n$ тооны бүх эерэг хуваагчид үед \[(d_2-d_1):(d_3-d_2):\ldots:(d_k-d_{k-1})=1:2:\ldots:(k-1)\] нөхцөл биелдэг байх бүх $n$-ийг ол.


3. Болдод гурван овоо чулуу байв. Тэр нэг үйлдэлдээ аль нэг овооноос чулуу авч нөгөө овооны чулууг 2 дахин их болгож чадна. Тэгвэл тэр ямагт аль нэг овоог чулуугүй болгож чадах уу?


4. $\angle A=90^\circ$ байх тэгш өнцөгт гурвалжинд $AH$ өндөр, $AM$ медиан татав. $BA$, $AC$ катетууд дээр харгалзан гадаад байдлаар $BAP$, $CAQ$ зөв гурвалжнууд байгуулав. Хэрэв $AM$ шулуун $PQ$ хэрчмийг $N$цэгт огтолдог бол $\angle NHP=\angle AHQ$ гэж батал.