Сайн гараа 2018, Бага ангийн багш

Сайн гараа Дунд ангийн багш   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: мин


1. $x+y+z=2$ байх $x$, $y$, $z$ эерэг бодит тоонуудын хувьд \[ \frac{(x-1)^2}{y}+\frac{(y-1)^2}{z}+\frac{(z-1)^2}{x}\ge \frac{1}{4}\left ( \frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right) \] тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. Титугийн лемм. $$\sum_{i=1}^n\dfrac{u_i^2}{v_i}\ge\dfrac{\Big(\sum_{i=1}^n u_i\Big)^2}{\sum_{i=1}^n v_i}$$

Бодолт. Т. Базарын бодолт.

Титугийн леммээр $$\dfrac{(x-1)^2}{y}+\dfrac{(y-1)^2}{z}\ge\dfrac{(x+y-2)^2}{y+z}=\dfrac{z^2}{y+z}$$ $$\dfrac{(y-1)^2}{z}+\dfrac{(z-1)^2}{x}\ge\dfrac{(y+z-2)^2}{z+x}=\dfrac{x^2}{z+x}$$ $$\dfrac{(z-1)^2}{x}+\dfrac{(x-1)^2}{y}\ge\dfrac{(z+x-2)^2}{x+y}=\dfrac{y^2}{x+y}$$ Эндээс $$\sum_{cyc}\dfrac{(x-1)^2}{y}\ge\dfrac12\left(\dfrac{x^2}{z+x}+\dfrac{y^2}{x+y}+\dfrac{z^2}{y+z}\right)$$ болов. $$\dfrac12\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{z+x}\ge\dfrac14\sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$$ гэж батлахад хангалттай. Баруун гар талыг зүүн гар талд гаргаж хялбарчилбал \begin{gather*} \dfrac12\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{z+x}-\dfrac14\sum_{cyc}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\dfrac{1}{4}\cdot\Big(\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{x+y}-\sum_{cyc}\dfrac{y^2}{x+y}\Big)\\ =\dfrac14\cdot\sum_{cyc}\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=\dfrac14\cdot\sum_{cyc}(x-y)=0 \end{gather*} болж батлагдав. Тэнцэлдээ $x=y=z=\dfrac23$ үед хүрнэ.


2. Болдод гурван овоо чулуу байв. Тэр нэг үйлдэлдээ аль нэг овооноос чулуу авч нөгөө овооны чулууг 2 дахин их болгож чадна. Тэгвэл тэр ямагт аль нэг овоог чулуугүй болгож чадах уу?


3. $\angle A=90^\circ$ байх тэгш өнцөгт гурвалжинд $AH$ өндөр, $AM$ медиан татав. $BA$, $AC$ катетууд дээр харгалзан гадаад байдлаар $BAP$, $CAQ$ зөв гурвалжнууд байгуулав. Хэрэв $AM$ шулуун $PQ$ хэрчмийг $N$цэгт огтолдог бол $\angle NHP=\angle AHQ$ гэж батал.


4. $p$ нь анхны тоо. $a_1, a_2, \ldots, a_p$ нь бүхэл тоонууд байг. \[a_1 + k, a_2 + 2k, \dots, a_p + pk\] тоонуудыг $p$-д хуваахад дор хаяж $\dfrac{1}{2}p$ ширхэг ялгаатай үлдэгдэл өгдөг байх $k$ бүхэл тоо олдохыг батал.