Заавар. Хэрвээ ямар нэг натурал тооны цифрүүдийг нэг нэгээр нь салгаж бичээд сүүлээс нь эхлэн $+$ ба $-$ тэмдэг сөөлжлүүлэн тавиад гарсан илэрхийллийг бодоход гарах тоо 11-д хуваагдах бол уг тоо 11-д хуваагдан. Жишээ $121$ тооны хувьд $+1-2+1=0$ нь 11-д хуваагдах тул $121$ тоо 11-д хуваагдана.

Бодолт. 11-д хуваагдах хамгийн их тоогоо $\overline{98765abcd}$ ба $\overline{abcd}$ нь $1,2,3,4$ цифрүүдийг нэг, нэг удаа ашиглан бичиж болох тоо хэлбэрээр хайя. Ийм тоонууд олдвол эдгээрийн хамгийн их нь бидний хайж байгаа тоо болох нь ойлгомжтой. 11-д хуваагдах тооны шинжээр $$(9+7+5+b+d)-(8+6+a+c)=7+b+d-a-c=11k$$ байх ёстой. Энэ илэрхийлэл нь хамгийн багадаа $7+1+2-3-4=3$, хамгийн ихдээ $7+3+4-1-2=11$ утга авах боломжтой тул $k=1$ байна. Энэ тохиолдолд $b+d=7$, $a+c=3$ ба хамгийн их байхын тулд $a=2$, $b=4$, $c=1$, $d=3$ байна. Өөрөөр хэлбэл бодлогын нөхцөлийг хангах тоо $987652413$ юм.

Заавар. Хоёр оронтой тоонуудаа $\overline{ab}$, $\overline{cd}$ гэвэл $$(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c)$$ байна.

Бодолт. $$(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c)$$ илэрхийллийг гишүүнчлэн үржүүлж задлавал $$100ac+10(ad+bc)+bd=100bd+10(bc+ad)+ac\Leftrightarrow 99ac-99bd=0$$ тул $ac=bd$ байна. $a$, $b$, $c$, $d$ нь цифрүүд тул дор хая 2 аргаар цифрүүдийн үржвэрт задардаг тоонуудыг олъё. Эдгээр нь \begin{align*} 1\cdot 4&=2\cdot 2=4 & 12\cdot 42&=21\cdot 24\\ 1\cdot 6&=2\cdot 3=3\cdot 2=6 & 12\cdot 63&=21\cdot 36 & 13\cdot 63=31\cdot 36\\ 1\cdot 8&=2\cdot 4=4\cdot 2=8 & 12\cdot 84&=21\cdot 48 & 14\cdot82=41\cdot28\\ 1\cdot 9&=3\cdot 3=9 & 13\cdot 93&=31\cdot 39\\ 2\cdot 6&=3\cdot 4=4\cdot 3=12 & 23\cdot 64&=32\cdot 46 & 24\cdot63=42\cdot36\\ 2\cdot 8&=4\cdot 4=16 & 24\cdot 84&=42\cdot 48\\ 2\cdot 9&=3\cdot 6=6\cdot 3=18 & 23\cdot 96&=32\cdot 69 & 26\cdot93=62\cdot 96\\ 3\cdot 8&=4\cdot 6=6\cdot 4=24 & 34\cdot 86&=43\cdot 68 & 36\cdot 84=63\cdot 48\\ 4\cdot 9&=6\cdot 6=36 & 46\cdot 96&=64\cdot 69 \end{align*} байна.

Заавар. Энэ үйлдлээр цифрүүдийн тэгш сондгой хадгалагдаж үлдэхийг харуул.

Бодолт. Дараалсан хоёр цифр нь $CT$ байсан 1, 1-ийг хасахад $T, C$ болох ба байрыг нь солиход буцаад $CT$ болно. $TC$ үед мөн адил $TC$ болох нь ойлгомжтой юм. Анх цифрүүд тэгш сонгойгоороо сөөлжилж байрласан байсан тул энэ байрдал буюу $CTCTCTCTC$ хэлбэрээ хадгална. Ийм хамгийн бага тоо нь мэдээж $101010101$ юм. Энэ тоог гаргаж авч чадахыг харуулахад төвөгтэй биш юм. Үнэндээ $$89\to 87\to 67\to 65\to 45\to 43\to 23\to 21\to 01$$ үйлдлийг ашиглаад $23$, $45$, $67$, $89$ тоонуудыг $01$ болгож болох тул $101010101$ тоог ч мөн адил гарган авах боломжтой юм.

Заавар. Ромбо дүрсийн эсрэг орой дээрх тоонууд ямар байх вэ?

Бодолт.