Сайн гараа 2018, 6-р анги

Сайн гараа 6-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: мин


1. Цифр бүр нь зөвхөн 0 эсвэл 1-ийн аль нэгээс нь тогтох 6-д хуваагддаг 10-аас хэтрэхгүй оронтой тоо хэчнээн байх вэ?

Заавар Бодолт
Заавар. 6-д хуваагдах бүрэн нөхцөл нь 2 ба 3-д зэрэг хуваагдах байна.

Бодолт. 3-д хуваагдах тул 1-ийн цифр нь 3, 6 юмуу 9 ширхэг байна. 2-д хуваагдах тул сүүлийн цифр нь 0 байна. 10-аас бага оронтой тооны урд 0 цифрүүд бичээд 10 оронтой болгож болох тул 3, 6 юмуу 9 ширхэг 1 орсон 0 цифрээр төгссөн зөвхөн 0 ба 1 цифрүүдээр бичигдэх тоонуудын тоог олоход хангалттай. Эдгээр нь $$C_9^3+C_9^6+C_9^9=84+84+1=169$$ ширхэг байна.


2. Цифрүүдийн 3 зэрэгтүүдийн нийлбэр нь 20186 байх хамгийн бага тоог ол.

Заавар Бодолт
Заавар. $9^3=729$ тул дор хаяж $\left[\dfrac{20186}{729}\right]+1=28$ оронтой тоо байна.

Бодолт.


3. Самбарт 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн тоонууд бичээстэй байв. Тэндээс дурын $a$ ба $b$ гэсэн 2 тоог арилгаад оронд нь $ab$ болон $a+b$ тоонуудыг бичнэ. Энэ үйлдлийг давтан хийх замаар өгөгдсөн 5 тооноос 21, 27, 64, 180, 540 гэсэн тоонуудыг гарган авч болох уу?


4. $N$ тооны дараалсан 2 цифрээс үүсэх 2 оронтой тоонууд бүгд ялгаатай анхны тоонууд байх хамгийн их $N$ тоог ол. Тухайлбал 23173 тооны хувьд дараалсан 2 цифрээс нь тогтох 23, 31, 17, 73 гэсэн тоонууд нь бүгд анхны тоонууд бөгөөд хоорондоо ялгаатай байна.