Сайн гараа 2018, 8-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: мин
1. $a\ge b$ байх натурал тоонуудын хувьд $a-b\le 1$ бол багц тоонууд гэе. Тэгвэл 2018 тоог багц тоонуудын нийлбэрт хэдэн янзаар задалж болох вэ? (Хэрэв нэмэгдэхүүнүүд нь эрэмбээрээ ялгаатай бол нэг янз гэж үзнэ. Жишээлбэл $2018=672+673+673=673+672+673=673+673+672$ бол нэг янзын задаргаа болно).
2. $(x+y)^2=(x-2018)(y+2018)$ тэгшитгэлийн бүх бүхэл тоон шийдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. $x$-ээс хамаарсан квадрат тэгшитгэл гээд дискреминантыг нь шинжил.
Бодолт. $$(x+y)^2=(x-2018)(y+2018)\Leftrightarrow x^2+(y-2018)x+y^2+2018y+2018^2=0$$
байна.
\begin{align*}
D&=(y-2018)^2-4(y^2+2018y+2018^2)\\
&=-3y^2-6\cdot 2018y-3\cdot 2018^2\\
&=-3(y+2018)^2\le 0
\end{align*}
байна. Иймд $D=0$ буюу $y=-2018$ байна. Иймд $x+y=0$ болох тул $x=2018$ болно.
3. $n$ - натурал тооны хувьд $(3n+1)$ ба $(10n+1)$ тоонууд нь натурал тоонуудын квадратууд болдог бол $(29n+11)$ нь анхны тоо байх $n$ тоо олдох уу?
Заавар Бодолт
Заавар. $\left\{\begin{array}{c}
3n+1=a^2\\
10n+1=b^2
\end{array}\right.$ бол $29n+11=\dfrac{1}{7}(81a^2-4b^2)$ байна.
Бодолт. $7(29n+11)=81a^2-4b^2=(9a-2b)(9a+2b)$ байна. $7$ ба $29n+11$ тул
$\left\{\begin{array}{c}
9a-2b=7\\
9a+2b=29n+11\end{array}\right.$ байна. Эндээс $a=\dfrac{29n}{18}+1$, $b=\dfrac{29n}{4}+1$. Үүнийг $3n+1=a^2$-д орлуулбал
$$3n+1=\left(\dfrac{29n}{18}+1\right)^2$$
ба энэ квадрат тэгшитгэл нь $n_1=0$, $n_2=-\dfrac{72}{841}$ гэсэн шийдтэй тул бодлогын нөхцөлийг хангах $n$ натурал тоо олдохгүй.
4. $AB$ тал нь $CD$ талтай параллел байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AD$ болон $BC$ талууд нь диаметр болдог байх 2 тойрог байгуулав. Эдгээр 2 тойргоос нэг, нэг цэгийг дурын байдлаар авахад энэ 2 цэгийн хоорондох зай нь $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн периметрийн хагасаас хэтрэхгүй гэж батал.